第2章 第4节 幂函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第四节　幂函数 课标解读 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 知识点　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数． 2．幂函数的图象(如下图) 3．幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).　 (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴． 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，自变量满足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1).(　　×　　) (2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．(　　√　　) (3)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　√　　) (4)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第二册P38习题44B T3改编)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝x2＋x－2 B．f(x)＝x＋3x C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝2x4＋x－ 答案：C 2．(人教A版必修第一册P118 T2改编)()与()的大小关系是________．(用“＜”连接) 答案：()<() 3．(人教A版必修第一册P118 T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　解析：由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 考点 幂函数的图象(自悟通) 1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) B　解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 D　解析：由图象可知，0<m<1，n<0.当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的上方，则－1<n. 综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. 对于幂函数图象的掌握，需记住：在第一象限内，三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域，根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 考点 幂函数的性质(精研通) 考法1　比较大小问题 【例1】 (1)若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c (2)(2025·山东潍坊模拟)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．　 (1)D　(2)(－∞，－1)∪(，)　解析：(1)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝()>b＝().因为y＝()x是减函数，所以a＝()<c＝()，所以b<a<c. 故选D. (2)不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 利用幂函数的单调性比较大小应注意的问题 (1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式； (2)构造的幂函数要分析其单调性； (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到； (4)若不易直接比较大小，可构造中间值，间接比较其大小． 已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：∵a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5，幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴b<a<c.故选A. 考法2　奇偶性与单调性的综合应用 【例2】 幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　) A．－1<m<3 B．0 C．1 D．2 C　解析：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0，1，2. 而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数， ∴m＝1. 故选C. (1)利用幂函数的奇偶性和单调性解决与幂函数有关的综合问题，是一类比较常见的综合问题，考查这类问题通常借助幂函数的图象与性质，注意用分类讨论思想解决． (2)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称． 1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．3 A　解析：因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A. 2．已知幂函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________． 答案：3　解析：∵幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，∴<0，∴a>1. 当a＝2时，f(x)＝x－在(－∞，0)上是减函数，不符合题意；当a＝3时，f(x)＝x－在(－∞，0)上是增函数，符合题意．∴满足条件的最小的正整数a＝3. 考点3 幂、指、对数函数的综合应用(精研通) 【例3】 (1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 (2)将log89，log79，log3，(log9)2，()3，()π按从大到小的顺序排列，结果为__________________________________． (1)A　(2)(log9)2>log79>log89>()3>()π>log3　解析：(1)由函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，及g(x)＝|lg x|，可在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图可知，两个函数共有10个交点．故选A. (2)(log9)2＝(－log29)2＝(log29)2.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝log8x，y＝log7x，y＝log2x的图象，如图所示， 当x＝9时，由图象知log29>log79>log89>1， ∴(log9)2>log79>log89>1. ∵y＝()x在R上是减函数，∴1>()3>()π>0.又log3<0， ∴(log9)2>log79>log89>()3>()π>log3. 1．(2025·山东济宁模拟)设a＝20.1，b＝ln ，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c D　解析： ∵a＝20.1>20＝1；b＝ln <ln e＝1，即0<b<1；c＝log3<log31＝0，∴a>b>c.故选D. 2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝loga x的图象可能是(　　) D　解析：因为a>0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上是增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错误；在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，与题意相符，故D正确．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$