第2章 第3节 第❷课时 指数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　指数函数 课标解读 1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 知识点一　指数函数 　定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 知识点二　指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 (1)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.(　　√　　) (2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (3)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　√　　) (4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P115 T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．(－2，) B．(－1，) C．(1，2) D．(3，) 答案：D 2．[人教A版必修第一册P159 T1(2)]如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x图象的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 3．(苏教版必修第一册P165 T5)若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　　) A.2 B．3 C．4 D． 答案：A 4．(人教B版必修第二册P52 A组 T10改编)函数y＝的定义域为________________________________________________________________________． 答案：[0, ＋∞) 5．(人教A版必修第一册P109 T3改编)已知a＝()－，b＝()－，c＝()－，则a，b，c的大小关系是________． 答案：c<b<a 考点 指数型函数图象的辨析(自悟通) 1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) A　解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C. 2．(多选)已知函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.ab>1 B．a＋b>1 C．ba>1 D．2b－a<1 ABD　解析：由图象可知，函数y＝ax－b(a>0且a≠1)在R上单调递增，则a>1， 且当x＝0时，y＝1－b∈(0，1)，可得0<b<1. 对于A选项，ab>a0＝1，A正确； 对于B选项，a＋b>a>1，B正确； 对于C选项，ba<b0＝1，C错误； 对于D选项，由题意可知，0<b<1<a，则b－a<0，　 所以2b－a<20＝1，D正确．故选ABD. 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 考点 指数函数图象的应用(精研通) 【例1】 若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________． 答案：(0，1)　解析：作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1).　 直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图①，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜. 综上可知，实数a的取值范围是(0，). (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 1．已知f(x)＝|2x－1|，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)，则必有(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2 D　解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示． 因为a<b<c，且有f(a)>f(c)>f(b)，所以必有a<0，0<c<1，b的符号不确定，且|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，显然2a＋2c>1，故1<2a＋2c<2. 2．若函数f(x)＝()|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________． 答案：[－1，0)　解析：作出函数g(x)＝()|1－x|的图象如图所示， 由图象可知0<g(x)≤1，则m<g(x)＋m≤m＋1，即m<f(x)≤m＋1.要使函数f(x)＝()|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则解得－1≤m<0. 考点3 指数函数性质(精研通) 考法1　比较大小问题 【例2】 (1)设a＝30.7，b＝()－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b (2)已知f(x)＝mx－m－x(m>0且m≠1)，a＝()－，b＝()，c＝log2，判断f(a)，f(b)，f(c)的大小． (1)D　解析：由题知c＝log0.70.8<1，b＝()－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以c<a<b. (2)解：∵a＝()－＝()>()＝b>0，c＝log2<0，∴a>b>c. ①当m>1时，f(x)是R上的增函数，∴f(c)<f(b)<f(a)； ②当0<m<1时，f(x)是R上的减函数，∴f(a)<f(b)<f(c). 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c. 考法2　解指数方程或不等式 【例3】 (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． (2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)　(2)(－3，1)　解析：(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入f(1－a)＝f(a－1)不成立．故a的值为. (2)当a＜0时，f(a)＜1，即()a－7＜1，所以()a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；当a≥0时，f(a)＜1，即＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.综上可得实数a的取值范围是(－3，1). 简单的指数方程或不等式的求解方法 解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 　若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 答案：{x|x>4或x<0}　解析：∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝ 当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 考法3　与指数函数有关的最值问题 【例4】 (1)(2025·云南昆明模拟)已知集合A＝{x|(2－x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 (2)若函数f(x)＝()ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________． 答案：(1)D　(2)1　解析：(1)由题知集合A＝{x|－2<x<2}．又f(x)＝(2x)2－2×2x－3，设2x＝t，则<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，且函数g(t)的对称轴为直线t＝1，所以所求函数的最小值为g(1)＝－4. (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝()h(x).由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围． 1．定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中错误的是(　　) A．f(x)的单调递减区间是(0，1) B．f(x)的单调递增区间是(－1，1) C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 B　解析：设t＝3x，x∈[－1，1]，它是增函数，且t∈，30＝1，f(x)＝y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2，它在t∈(－∞，1)上单调递增，在t∈(1，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，C正确；f(－1)＝，f(1)＝－6，最小值是－6，D正确． 2．已知函数y＝a2x＋2ax－1(x≥0)，当a>1时，函数的值域为________；当0<a<1时，函数的值域为________． 答案：[2，＋∞)　(－1，2]　解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2；当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1，又g(0)＝－1，g(1)＝2，∴当0<a<1时，－1<y≤2.综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；当0<a<1时，函数的值域是(－1，2]. 3．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(－，＋∞)　解析：从已知不等式中分离出实数a，得a>－[()x＋()x]，因为函数y＝()x和y＝()x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，()x≥，()x≥，所以()x＋()x≥＋＝，从而得－[()x＋()x]≤－.故实数a的取值范围为(－，＋∞). [分级练(12)见P291] 学科网（北京）股份有限公司 $$