第2章 第2节 第❸课时 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　函数性质的综合问题 考点 函数的奇偶性与单调性的综合(精研通) 【例1】 设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b C　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)， 又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0， ∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，即a＞b＞c. 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1). (2023·湖南雅礼检测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞) C.(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D　解析：当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 考点 函数的奇偶性与周期性的综合(精研通) 【例2】 (2025·福建三明模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)， 可得f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1， 所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1， 解得－1＜a＜3. 函数奇偶性与周期性的综合问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解． 　已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x－1)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则下列命题正确的个数是(　　) ①f(x)＝f(x－16)；②f(11)＝0； ③f(2 024)＝－f(0)；④f(2 025)＝f(－1). A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：因为f(2x－1)是奇函数， 所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)，故f(－1－x)＝－f(x－1)，f(x)＝－f(－x－2)， 又f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1), f(x)＝f(－x＋2)， 所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，　 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8， 由f(－1－x)＝－f(x－1)可得f(－1)＝0， 由f(x＋4)＝－f(x)可得f(3)＝－f(－1)＝0. 对于①，f(x)＝f(x＋(－2)×8)＝f(x－16)，正确； 对于②，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝0，正确； 对于③，f(2 024)＝f(8×253)＝f(0)，错误； 对于④，f(2 025)＝f(8×253＋1)＝f(1)，错误． 故选B. 考点 函数的奇偶性、周期性、对称性的综合(精研通) 【例3】 (1)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (1)D　(2)D　解析：(1)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(1)＝0. 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，周期为4， 所以f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)， 故f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6， 代入可得解得 故当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2， 因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. (2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， ∴函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).　 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).　 ∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11).　 对于函数性质综合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 1．(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)关于x＝3对称 D．f(100)＝9 ACD　解析：∵f(x)的图象关于直线x＝－3对称，∴f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，∴f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，由T＝6，得f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；∵f(x)的图象关于x＝－3对称且T＝6，∵f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确． 2．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1，2)(x1≠x2)，都有>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(1 023)＝0 C．f(x)的图象关于点(1，0)对称 D．f>f BCD　解析：根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则f(x)的图象关于点(1，0)对称，同时关于直线x＝2对称， 则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数． 对A，f(x)的图象关于点(1，0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0，即y轴也是函数f(x)图象的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误； 对B，因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(1 023)＝f(3＋4×255)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确； 对C，因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对D，对任意的x1，x2∈(1，2)(x1≠x2)，都有>0，则f(x)在区间(1，2)上为增函数， 由f(x)为偶函数，得f＝f，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，得f＝f，又由2>＞>1，得f>f，D正确．故选BCD. [分级练(10)见P286] 学科网（北京）股份有限公司 $$