第2章 第2节 第❶课时 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　函数的基本性质 课标解读 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 3．了解函数周期性的概念和几何意义． 知识点一　函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，对任意x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减) 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D 条件 如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0) 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0) 结论 最大值为f(x0)，x0为f(x)的最大值点 最小值为f(x0)，x0为f(x)的最小值点 知识点三　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称 图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 知识点四　函数的周期性 1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 关于函数单调区间需注意的4个点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.　 (1)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (2)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).　 (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).　 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　) (3)所有的单调函数都有最值．(　　×　　) (4)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (6)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P79 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ D．y＝ex 答案：A 2．(苏教版必修第一册P118例1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．　 答案：[1，＋∞) 3．(北师大版必修第一册P62 T3改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)　解析：易知函数f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________． 答案：2 5．(苏教版必修第一册P111 T2改编)如果函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]，那么函数f(x)的值域为________． 答案：[－3，5] 6．(苏教版必修第一册P127 T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________． 答案： 7．(人教A版必修第一册P86 T11改编)已知函数f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________． 答案：－ 8．(北师大版必修第二册P4 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 027)＝________. 答案：1　解析：由题意知f(2 027)＝f(3×676)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 027)＝1. 第❶课时　函数的单调性与最值 考点 求函数的单调区间(自悟通) 1.(多选)下列是函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调减区间的是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．[3，4] D．(2，3) AC　解析：因为f(x)＝ |x2－6x＋8|＝ 函数图象如图所示，所以由图可知函数f(x)的单调减区间为(－∞，2)和[3，4]. 2．函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案：[2，＋∞)　(－∞，－3]　解析：令u＝x2＋x－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．令u＝x2＋x－6≥0，解得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞). 考点 判断函数的单调性(自悟通) 1.下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ D　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数． 2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 A　解析：不妨令x1<x2，则x1－x2<0，由>－1得f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)， 即f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，则g(x1)<g(x2)，又∵x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 判断函数的单调性的5种方法 定义法 一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性 性质法 利用已知函数的单调性 复合法 函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则 考点3 求函数的最值(精研通) 【例1】 (1)函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________． (1)3　(2)2－6　解析：(1)(单调性法)　由于y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. (2)(利用单调性和均值不等式求解)　因为y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0；当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.又2－6<0，所以f(x)min＝2－6. 求函数最值的4种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值 换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 1．(2025·山东德州模拟)函数y＝x＋的最大值为________． 答案：　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋)，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为. 2．(2025·河北石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 答案：1　解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，函数h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此函数h(x)的最大值是h(2)＝1. 3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________． 答案：　解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.所以所求函数的最小值为. 考点4 函数单调性的应用(精研通) 考法1　比较大小 【例2】 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－1)，b＝f(2)，c＝f(e)(其中e＝2.718 28…)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a＞c＞b B．b＞c＞a C. b＞a＞c D．c＞b＞a B　解析：由题意得f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为函数图象关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，所以f(3)＜f(e)＜f(2)，所以a＜c＜b. 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解． 　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) A　解析：因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2). 考法2　解不等式 【例3】 定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，2) B．[0，2) C．[0，1) D．[－1，1) C　解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以解得0≤a<1. 求解与抽象函数有关的不等式时应注意的点 在解决此类问题时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解． 提醒：此时应特别注意函数的定义域． 1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(3－x)，且∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，都有>0，f(3)＝3.若对∀x∈(1，3)，f(2x－a)－3>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(－1，9) B．(－∞，－1)∪(9，＋∞) C．[－1，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞) D　解析：由题意可知f(x)在[1，＋∞)上单调递增． ∵f(x－1)＝f(3－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称， ∴f(x)在(－∞，1]上单调递减． ∵f(3)＝3，∴f(－1)＝f(3)＝3.由f(2x－a)－3>0知f(2x－a)>f(3)或f(2x－a)>f(－1)，∴2x－a>3或2x－a<－1，∴a<2x－3或a>2x＋1， ∵x∈(1，3)，∴a≤－1或a≥7. 2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(5)＝－f(－5)，则满足≥0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]∪(8，＋∞) B．(－∞，8] C．(－∞，－2]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(－1，8] D　解析：因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(5)＝f(－5)，又f(5)＝－f(－5)，所以f(5)＝f(－5)＝0. 由≥0，得或解得－1<x≤8或x≤－2. 考法3　求参数的值或范围 【例4】 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) (2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) (1)B　(2)B　解析：(1)因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上可得，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. (2)因为函数y＝ex为增函数，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，由复合函数的单调性知，必有t＝|x－a|在区间[1，＋∞)上是增函数，又t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上是增函数，所以[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，故有a≤1. 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小． 　(2024·陕西汉中校际联考)已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝在R上单调，则a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C． D． D　解析：因为函数f(x)在R上单调， 由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故y＝f(x)在R上单调递减， 所以解得≤a<1. [分级练(8)见P282] 学科网（北京）股份有限公司 $$