第2章 第1节 函数及其表示（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二章　函　数 第一节　函数及其表示 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一　函数的有关概念 概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数 三要 素 对应关系 f 定义域 x的取值范围A 值域 函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A} 知识点二　函数的表示方法 　函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点三　分段函数 1．定义：若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，这样的函数称其为分段函数． 2．分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．　 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)f(x)＝＋ 是一个函数．(　　×　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　×　　) (5)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(湘教版必修第一册P75 T1改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) 答案：BC 2．(人教A版必修第一册P66 例3改编)下面函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝ B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案：B 3．(人教A版必修第一册P73 T6改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)＝________． 答案：2x2－x 4．(苏教版必修第一册P107 T6改编)函数f(x)＝＋ 的定义域是________. 答案：(－4，4] 5．(湘教版必修第一册P75 T2改编)已知函数f(x)＝则f(3)＋f(－3)f()的值为________． 答案：1＋2 考点 函数的定义域(自悟通) 1.(2024·安徽合肥一中质检)已知函数f(x)＝＋log2(2－x)，则函数f(x)的定义域为(　　) A．(－3，2) B．[－3，2) C．(－3，2] D．[－3，2] A　解析：对于函数f(x)＝＋log2(2－x)，有解得－3<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－3，2). 2．(2024·黑龙江佳木斯联合体调研)若函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，则函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，2] B．[0，2] C．[－1，2] D．(1，2] D　解析：由函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得－3≤2x－1≤1， 因此由函数y＝有意义，得解得1<x≤2， 所以函数y＝的定义域为(1，2]. 3．(2025·山东济南检测)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为________． 答案：(，1)　解析：∵函数f(x)的定义域为(－1，0)， ∴－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1. ∴函数f(2x－2)的定义域为(，1). 1.根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考点 求函数解析式(自悟通) 1.(2025·河北石家庄二中模拟)已知f(x＋1)＝ln x，则f(x)＝(　　) A．ln (x＋1) B．ln (x－1) C．ln |x－1| D．ln (1－x) B　解析：方法一(换元法)　因为f(x＋1)＝ln x， 所以x>0，令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1， 所以f(t)＝ln (t－1)，所以f(x)＝ln (x－1). 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝ln x＝ln [(x＋1)－1]， 所以f(t)＝ln (t－1)，即f(x)＝ln (x－1)(x>1). 2．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________________________________________________________________________． 答案：f(x)＝x2－x＋3　解析：(待定系数法)　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3， 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. 所以解得 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3. 3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2x　解析：(解方程组法)　因为2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x. 求函数解析式的三种常用方法 待定系 数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 解方程 组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 考点3 分段函数(精研通) 考法1　分段函数求值问题 【例1】 (1)设f(x)＝则f(f(1))的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(2024·山西金科大联考质检)设函数f(x)＝则f(f(4))＝(　　) A．－2 B．－9 C．－10 D．－11 (1)B　(2)B　解析：(1)因为f(1)＝22－1＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3. (2)由解析式可得f(4)＝f(4－1)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝f(0)＝f(－1)＝－2， 所以f(f(4))＝f(－2)＝(－2)3－1＝－9. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 考法2　与方程结合问题 【例2】 (1)(2025·江苏南京模拟)函数f(x)＝若f(a)＝5，则a＝________. (2)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________． 答案：(1)－3　(2)2　解析：(1)由题意可知，当a>0时，f(a)＝－a2＝5无解；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝5，解得a＝－3或a＝1(舍去)，所以a＝－3. (2)由题意得f()＝()2－4＝2， ∴f(f())＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，解得a＝2. (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 　(2024·北京第六十六中学检测)函数f(x)＝则不等式f(x2)<f(5x－4)的解集为________． 答案：(1，4)　解析： 根据题意，作出函数f(x)的图象如图所示， 由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在R上单调递增， 所以f(x2)<f(5x－4)等价于x2<5x－4，解得1<x<4， 所以不等式的解集为(1，4). 考法3　与不等式结合问题 【例3】 (2023·重庆育才中学模拟预测)已知函数f(x)＝若f(x)＋f(x－1)>5，则x的取值范围是________． 答案：(2，＋∞)　解析：由f(x)＝当x－1<x≤0，即x≤0时，得x＋x－1>5，解得x>3，此时x无解； 当x－1≤0<x，即0<x≤1时，得x2＋x－1>5，解得x>2或x<－3，此时x无解； 当0<x－1<x，即x>1时，得x2＋(x－1)2>5，解得x>2或x<－1，此时x>2. 综上所述，x的取值范围是(2，＋∞). 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 1．已知函数f(x)＝若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________. 答案：(－2，0)∪(2，＋∞)　解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞). 2．若函数f(x)＝是R上的减函数，求实数a的取值范围． 解：由题意得①－a≤1解得a≥－1； ②2－3a<0，解得a>； ③当x＝1时，－1－2a＋2≤2－3a＋1，解得a≤2. 综上所述，实数a的取值范围为<a≤2. [分级练(7)见P280] 学科网（北京）股份有限公司 $$