第1章 微专题系列❶——集合中的新定义问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❶——集合中的新定义问题 新定义集合问题是指给出全新的数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题．此类题难度一般中档或中偏高档，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力．解决新定义集合问题的思路：从新情境中获取信息，以集合问题中新定义为核心和纽带，理清集合问题中新定义的具体内容，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新的情境中，促进知识技能的迁移和应用． 【例】 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确结论是________．(填序号) 答案：②　解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确； ②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确； ③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但当k≠0时，3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确． [思维过程] 明确目标→判断结论的正误． 提取信息→新定义闭集合A的特征：任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A. 建立联系→闭集合满足对实数加法、减法的封闭性，由此来分析三个结论是否满足加法、减法的封闭性从而判断结论正误． 以集合为背景的新定义问题的解题要点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． 【练1】 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　) A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} B　解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P＝{x|0＜x＜2}．由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q＝{x|1＜x＜3}．由题意得P－Q＝{x|0＜x≤1}． 【练2】 设U为全集，对集合A，B定义运算“*”：A*B＝∁U(A∩B).若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z＝(　　) A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z B　解析：∵X*Y＝∁U(X∩Y)， ∴对于任意集合X，Y，Z，(X*Y)*Z＝∁U(X∩Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪∁UZ. 【练3】 已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：①若a∈A1，则a∉A2；②若a∈A2，则a∉A1；我们就称(A1，A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，那么，集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是(　　) A．11 B．28 C．32 D．50 D　解析：若A1，A2中各含1个元素时，“互斥子集组”有C×2＝12(个)， 若A1，A2中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有C×C×2＝24(个)， 若A1，A2中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有C×2＝8(个)， 若A1，A2中各含2个元素时，“互斥子集组”有C＝6(个)， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50.故选D. [分级练(1)见P271] 学科网（北京）股份有限公司 $$