第1章 第6节 均值不等式及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第六节　均值不等式及其应用 课标解读 1.掌握均值不等式≤(a，b>0). 2．能用均值不等式解决简单的最值问题． 知识点一　均值不等式 　≥ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值． 知识点二　利用均值不等式求最值 　已知x>0，y>0，则 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a>0，b>0)；(3)ab≤()2(a，b∈R)；(4)()2≤(a，b∈R)；(5)＋≥2(a，b同号). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　×　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　√　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　) (5)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第一册P77例1改编)若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案：D 2．(人教A版必修第一册P46例3改编)矩形的两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________． 答案： 3．(北师大版必修第一册P28 T3改编)已知x＞2，则x＋的最小值是________． 答案：4 4．[人教A版必修第一册P48 T1(2)改编]函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________. 答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．即所求最大值为. 考点 拼(配)凑法求最值(自悟通) 1.已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案：　解析：因为0<x<1，所以4－3x>0，所以x(4－3x)＝·3x·(4－3x)≤×＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立．故所求x的值为. 2．函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案：2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0，所以y＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 利用拼凑法及均值不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 考点 常值代换法求最值(自悟通) 1.已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 B　解析：＋＝(＋)(a＋b)＝(＋＋5)≥(4＋5)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立． 2．(2024·湖南一模)函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：由题意可得函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1，1)， 又点A在直线mx＋ny－2＝0上，∴m＋n＝2， ∴＋＝(m＋n)＝1＋＋≥1＋2＝2， 当且仅当＝，即m＝n＝1时，等号成立， ∴＋的最小值为2. 3．设0<x<1，则＋的最小值为________． 答案：9　解析：因为0<x<1，所以0<1－x<1，则＋＝(＋)[(1－x)＋x]＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，故＋的最小值为9. 利用常数代换法及均值不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用均值不等式求解最值． 考点 消元法求最值(自悟通) 1.(2025·湖北武汉模拟)已知正实数a，b满足2a＋b＝ab，则－的最小值为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 A　解析：∵2a＋b＝ab，∴2a＝b(a－1)，当a＝1时等式不成立，∴a≠1，∴b＝， ∴－＝－＝＋－1≥2 －1＝0，当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，故－的最小值为0. 2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0， 所以y＝.由即 解得0<x<1. 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立． 故x＋2y的最小值为. 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值． 考点4 放缩法求最值(自悟通) 1.已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________． 答案：9　解析：∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴()2－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．∴ab的最小值为9. 2．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 答案：6　解析：∵x>0，y>0，∴9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·()2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，又∵t>0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，x＋3y取得最小值为6. 放缩法求最值的方法 将所给代数式，利用均值不等式放大或缩小，构造出待求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值． 考点5 均值不等式的实际应用(精研通) 【例1】 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？ 解：(1)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x≤1 260， 化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， ∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围应为[40，90]. (2)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240， 当且仅当2x＝，即x＝60时取得等号， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶． 利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． 　某化工企业2025年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元). (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． 解：(1)由题意得y＝ ，即y＝x＋ ＋1.5(x∈N*). (2)由均值不等式得y＝x＋ ＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5， 当且仅当x＝ ，即x＝10时，等号成立． 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 考点6 均值不等式的综合应用(精研通) 【例2】 (2024·广东潮州期末)正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1，4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) C　解析：正实数x，y满足＋＝1， 则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，则x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4， 要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4恒成立，解得－1≤m≤4，所以实数m的取值范围是[－1，4]. 当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值． 　设a>0，b>0，若4是2a与2b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．1 B．8 C．4 D． A　解析：因为4是2a与2b的等比中项，所以2a·2b＝42＝24，可得a＋b＝4，因为a>0，b>0，所以有＋＝(a＋b)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时取等号．所以＋的最小值为1. [分级练(6)见P278] 学科网（北京）股份有限公司 $$