第1章 第4节 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第四节　不等式的性质 课标解读 1.会比较两个数(式)的大小． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 知识点一　比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 知识点二　不等式的性质 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(a－m＞0). (2)＞；＜(b－m＞0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　×　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　×　　) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P50 T7改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A．＜1 B．2－x＜2－y C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2 答案：B 2．(人教B版必修第一册P63 T3改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 答案：B 3．(人教A版必修第一册P38例1改编)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为______________． 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 4．(人教A版必修第一册P43 T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－3b的取值范围是________． 答案：(7，12) 考点 比较两个数(式)的大小(自悟通) 1.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b A　解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，∴b>a，∴c≥b>a. 2．若a＝，b＝，则a________b．(填“＞”或“＜”) 答案：<　解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 比较两个数(式)大小的两种方法 考点 不等式性质的理解(自悟通) 1.设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而当a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，例如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件． 2．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：＞.　 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以，得＜.又e＜0，∴＞. 运用不等式性质时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． 考点 利用不等式性质判断正误(精研通) 【例1】 (1)(多选)(2025·福建三明模拟)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac<bc C．< D．<1 (2)(2025·湖北调研)下列对不等关系的判断，正确的是(　　) A．若＜，则a3＞b3 B．若＞，则2a＜2b C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b| D．若tan a＞tan b，则a＞b (1)BC　(2)C　解析：(1)因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B正确；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D错误． (2)对于选项A，当a＝－1，b＝1时满足＜，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足＞，但2a＞2b，B错误；对于选项C，ln a2＞ln b2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tan ＞tan ，但＜，D错误． 判断不等式成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质、函数的性质进行判断． 1．(2025·陕西西安中学模拟)若a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d C．ac＞bd D．> A　解析：对于A，设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知a＋c＞b＋d，故A正确；对于B，令a＝2，b＝0，c＝3，d＝0，可知B不正确；对于C，D，令a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝－2，可知C，D不正确． 2．(多选)(2025·湖南永州一中模拟)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A．()a<()b B．ln a<ln b C．a3<b3 D．< BC　解析：对于A，因为y＝()x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以()a>()b，所以A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确；对于D，因为0<a<b<1，所以<，所以<，所以D错误． 考点4 不等式性质的综合(精研通) 【例2】 (1)(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A．∈(，3) B．∈(，6) C．a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 (1)BD　(2)B　解析：(1)∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，<<1，又3<a<6，∴∈(，6)，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确． (2)因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B. 求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． 　已知α∈(0，)，β∈，则2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－，) C．(0，1) D．(－，1) D　解析：因为α∈(0，)，所以0<2α<1，又β∈，所以0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<1. [分级练(4)见P275] 学科网（北京）股份有限公司 $$