第1章 第3节 等 式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　等　式 课标解读 理解等式的性质，掌握等式性质的简单应用． 知识点一　等式的性质与方程的解集 1．等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc 　等式性质的延伸 (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 2．十字相乘法 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用如图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．　 3．方程的解集 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解 (或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 知识点二　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为{－}； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 2．一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，x2＝，则有 知识点三　方程组的解集 　一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)等式的两边同除以任何实数等式仍成立．(　　×　　) (2)方程x2－2x＋3＝0的解集是空集．(　　√　　) (3)方程组的解集是{x＝3，y＝0}．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教B版必修第一册P58习题21A T1改编)下列等式中是恒等式的有(　　) A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 D．x2－2y2＝(x－y)(x＋y) 答案：ABD 2．(人教B版必修第一册P48练习A T5)对任意实数t和s，将t3－s3进行因式分解为____________． 答案：(t－s)(t2＋ts＋s2) 3．(人教B版必修第一册P53 练习B T3改编)已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0的两根同号，则实数m的取值范围是________． 答案：(1, 2] 4．(人教B版必修第一册P60习题21C T2)已知则＝________． 答案： 考点 解一元二次方程(自悟通) 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 解：(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. ∴x1＝4，x2＝－2.∴方程的解集为{－2，4}． 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0，∴x－4＝0或x＋2＝0.∴x1＝4，x2＝－2.∴方程的解集为{－2，4}． (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， ∴x－2＝0或2x－3＝0.∴x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}． 方法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0. ∴x＝＝，即x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}． (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0.因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0.∴x1＝1，x2＝3.∴方程的解集为{1，3}． 解一元二次方程的思路 解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． 考点 一元二次方程根的判别式的应用(自悟通) 【例1】 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程， 因为已知方程有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0，解得m≥－且m≠－1. 综上可知，当m≥－时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0，解得m＝－， ∴方程为－x2－3x－＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 应用判别式的关注点 (1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围． (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. ①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”； ②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”； ③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”； ④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”． 考点3 一元二次方程根与系数的关系(自悟通) 1．若一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足＋＝－2，则m的值是(　　) A．－2 B．－ C． D．2 B　解析：根据根与系数的关系有x1＋x2＝1，x1x2＝m， ∴＋＝＝.又＋＝－2，∴＝－2，解得m＝－. 2．已知x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，则x＋x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：∵x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7－2＝5，故选D. 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 (1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)＋＝； (3)|x1－x2|＝＝； (4)＋＝＝； (5)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (6)(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2. 考点4 三元一次方程组的解法(精研通) 【例2】 求下列方程组的解集： (1) (2) 解：(1)方法一(加减消元法)　①×2＋②，得5x＋8y＝7.④ 由③与④组成二元一次方程组解得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． 方法二(代入消元法)　由③，得y＝2x－7，④ 把④代入①，整理得7x＋2z＝23，⑤ 把④代入②，整理得7x－4z＝17，⑥ 由⑤与⑥组成二元一次方程组解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． (2)①＋③，得3x＋5y＝11.④ ③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组解得 把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}． 解三元一次方程组的思路 解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． 　求方程组的解集．解：方法一(代入消元法)　由②得x＝y＋1，④ 将④代入①③得解得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}． 方法二(加减消元法)　③－①，得x－2y＝－8，⑤ 由②⑤组成方程组，得 解得将其代入①得z＝7.所以原方程组的解集为{(10，9，7)}． [分级练(3)见P273] 学科网（北京）股份有限公司 $$