(十)解析几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考湘教版）

① 粒学（涵教服}选择性企修第一面第1夏「共4面引 蛋水金馨·究享题·离二同步因测卷十 监学〔湘较极引选择性必修第一研第2页{共4西引 12,(本小题满分15分) 已如双曲线若一若=1a>0,b>≥0>，0为坐标原点，离心率=2，点M5.后)在双 曲线上 (1)求双向线的方程： 《2》若直线1与双曲线的左，右两支分别交于点P,Q且币，及-0，求证：P 1Qr为定随. 数学（涵教版}选择性企修第一面第3夏「共4面1 衡水金幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 已知萄国E:号+芳=1(>>)的左，右焦点分别为下，F,过F的直线/与骑国 E交于P,Q两点，△PQF,的周长为8，集题为25. (1)求箱圆E的方程： 《2)若直线m与疑O:x+y=材相切，且与转圆E交于不同的两点R.S,求RS引的 取值总围. 离二同步丽测卷十 监学〔湘较极引选择性必修第一研第1面{共4面引高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（十） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) Ⅲ W ② ③④ 档次系数 1 选择题 由直线的倾斜角求参， 求两点间距离 L 多 0.80 2 选择题 5 由直线与椭圆有公共 点求参 易 0.72 由直线与抛物线的公 3 选择题 5 易 0.70 共点的个数求参 4 选择题 5 双曲线的中点弦问题 中 0.55 5 选择题 S 与立体几何有关的轨 迹问题 L 中 0.45 6 选择题 5 抛物线与向量的综合 中 0.30 7 选择题 6 与双曲线有关的新定 义题 多 0.70 直线与二次曲线的公 选择题 共点问题 难 0.28 9 填空题 求圆的切线方程 分 0.72 10 填空题 5 阿基米德三角形问题 中 0.35 求抛物线的标准方程， 11 解答题 13 0.60 直线过定点问题 中 12 解答题 15 双曲线中的定值间题 中 0.35 13 解答题 20 椭圆中的取值范围 问题 难 0.28 ·39· ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 选A. 1.C【解折】由题知，一5m-万m m-1-2 =tan60°=√5，解 6.B【解析】过点P作PH垂直于准线，垂足为H,则 IPH|=|PF|,由QF-3FP,得|QF|=3|FP| 得m=号：放A(92):则1A01=√g+4- 3|PH|,则|QP|=4|PH|,所以cos∠QPH 驱，故选C 删=子则m∠QpH=V()=年， 7 tan∠QPH=/5,所以tan∠QFO=√I5,则由对称 2.A【解析】联立 任+号=1消去y得72+8m y=r十m 性可知直线1的斜率为士√5.故选B. 3 4m2一12=0，因为直线1与椭圆C有公共点，所以 4=64m-4×7X(4m-12)≥0，解得-√7≤m≤ √万，即实数m的取值范围为[一√万，√万门.故选A. 3.D【解析】当t=0时，直线1：x=0,与抛物线C有交 点，不符合题意，所以1≠0；设直线AB的方程为y= y= 4一1，联立 T-1 ·消去y得2x-4 t-ty x+1 =0,因为直线（与抛物线C无公共点，所以△= （-)）广-4×2×1<0，解得1>2或1<-厄.故 二、选择题 7.ABD【解析】由题意得IPA|一|PB|=2< 选D. |AB|=4,故点P的轨迹是以A(-2,0),B(2,0)为 4.A【解析】设A(x),B(x:业)，由题可知 焦点，且实轴长为2的双曲线的右支，则a=1,c=2, M(1,3),所以x1+x=2,y+y:=6,因为 所以6=-。=3，所以点P的轨迹方程为一号 ,两式相诚，得当二业=公·十玉，则 -- -1(≥1).对于A联立y-+1与-号-1， 解得工=B+3正1，负值舍去，故A正确：对于 2-告·号解得答=6，即台=6，所以双曲线C的 渐近线方程为y=士√6x,故选A B联立y=x十1与2-苦=1，解得x=2>1,负值 5,A【解析】如图所示，侧棱DD⊥底面ABCD,P为 舍去，故B正确：对于C,联立y=2x十4与x一兰 底面ABCD上的动点， 1,解得x=一8士35<0，不满足题意，故C错误：对 于D.联立y=万：十1与-苦=1解得x=万十 √>1，负值舍去，故D正确.故选ABD. 8.BCD【解析】因为曲线C:x2十2xy十2y2=1,点 P(五)为曲线C上一点，所以十2x十2%= 1,将点（一工0·）代人曲线C的方程，得x一2xy 十2%=1一4x0y。=1,不一定成立，所以曲线C不关 因为△DPC的面积为定值b(b>0),DC的长度恒 于y轴对称，故A错误：将点（一，一）代入曲线 C的方程，得x十2（一）（一y)十2y=x十 定，所以点P到线段DC的距离为定值，则点P在以 DC为旋转轴的圆柱的侧面上，又点P在底面 2x。十2=1，所以曲线C关于原点对称，故B正 ABCD上，所以点P的轨迹为椭圆的一部分.故 确：由曲线Cr+2y十2y=1,得2(+之)广 ·40· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 1-r,因为2（叶2）八≥0，所以1-r≥0 所以双曲线的方程为后一益=1 解得一√2≤x≤②，又点P在曲线C上，所以x∈ 即3.x2-y2=3a, (3分) [-]故C正确：联立{十2+2y得 因为点M√5，√)在双曲线上， 所以15-3=3a2,所以a2=4, (5分) 5x2十6x十1=0，则△=6-4×5×1=16>0，所以直 线y=x十1与曲线C有且仅有两个公共点，故D正 所以双曲线的方程为片一益一1 (6分) 确，故选BCD (2)由题意可得直线OP的斜率存在且不为0， 三、填空题 设直线OP的方程为y=kx(一√3<k</3且k≠0)， 9.y=x十1【解析】因为点A(0,1)在圆C:(x一1)2十 因为OP.O0=0,所以O币⊥O友， y=r(r>0)上，所以过点A的圆C的切线和AC 1 垂直，因为A(01).C1.0),所以e-与月=-1， 所以直线OQ的方程为y=一方x, (8分) 12 所以切线方程的斜率为1，所以切线方程为y=1X (x-0)+1,即y=x+1, 联立 4121 得 v=kr 12k· 10.248【解析】把y=6代人方程x=6y,解得x= y=3一F ±6，不妨设A(6,6),B(-6,6),设抛物线C在A 所以1OP=12(k+1D 点处的切线方程为y一6=k(x一6)，即y=kx十 3一k (10分) 5-),联立{)60-)， ,消去y得x2 2(1+是 同理可得，OQ1= 12(k+1) 6kx十36(k-1)=0,由△=36k°-4×36(k-1)= 1 3 3k2-1 0,解得k=2,由对称性可知抛物线C在B点处的切 (13分) 线斜率为一2，故抛物线C在A点处的切线方程为 1 y=2x一6，在B点处的切线方程为y=一2x-6,联 所以oP币+1OQ 3-k+(3k-1) 12(k2+1) 立们二22。期得”。做这丙条切线的交 2十2k 1 12(+1万=行，为定值. (15分) 点坐标为(0，一6)，所以直线1与抛物线C所围成 13.解：(1)因为△PQF:的周长为|PF十|PF,|+ 的封例图形的面积为7×12X12X号=48。 |QF|+|QF2=4a=8, 所以a=2, (2分) 四、解答题 又2c=2√3，所以c=√5， 11.解：(1)将点A(一2,1)，B(2,4),C(2,1)分别代人 (4分) 抛物线E:x=2py(p>0): 所以2=a2-c2=1, 得（一2）2=2p×1,解得p=2, 所以椭圆E的方程为号+y=山 (6分) 2=2pX4,解得D=之 (2)由(1)可知圆O:x2+y2=1, 2:=2p×1,解得p=2, (3分) 当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x= 因为点A(-2,1),B(2,4),C(2,1)中恰有两个点 -1或x=1, (7分) 在抛物线E上， 当x=1时，取R(.)s(1.-),则Rs到- 所以p=2, (4分) 所以抛物线E的标淮方程为x2=4y。 (6分) 5. (8分) (2)由题意可知，直线MN的斜常一定存在， 当x=-1时，同理|RS|=√3： (9分) 则设直线MN的方程为y=kx十m, 当直线m的斜案为0时，不符合。 联立y=x十m 当直线m的斜率存在且不为0时，设直线m的方程 x2=4y 为y=kx十t(k≠0)， 消去y得x2-4kx一4m=0,△=16(k:十m)>0, 因为直线m与圆O相切， 由韦达定理得x1x=一4m=一4， 所以=1， 解得m=1,满足△>0， (10分) V+T 所以直线MN:y=kx+1, 所以=2-1>0，所以>1， (11分) 所以直线MN恒过定点(0,1). (13分) 设R(y),S(), 12.解：1)因为=云=2 联立+ 所以c=2a,B=c2-a2=3a2, (2分) y=kr+t ·41· 消去y得(4k十1)x十8ktx十4(-1)=0， △=16(4k2-+1)>0 则11-√立=5·√+云是 所以五十= 8kt 4k十1 (13分) -·V√3（分）+ = 因为0<女<1.所以当-号时，Rs到-=2. 所以|RS|=√(I+)L[(x1十)一41x丁 当∈（分1）时5·√厂3(-吉)+音单 4k+1 -4X41) 4k十1 调递减， 3(-1)rF =4√4r-3)' (15分) 所以1s1>5X√厂31-吉)+号=0， 令4=4-3(>1)， 所以|RS|∈(0,2]. (20分)