第1章 第1节 集 合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第1节　集　合 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义． 2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系． 3．会求两个集合的并集、交集与补集．(重点、热点) 4．能用文字语言、图形语言、符号语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． [对应学生用书P1] 一、集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 3．元素与集合的关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制． 二、集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 AB 或BA 空集 不含任何元素的集合 ∅ 三、集合的基本运算 表示运算 符号语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 1．若集合A有n(n∈N*)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B．{2，3} C.{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 追根溯源 (人教A版必修第一册P12练习T1)设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，求A∪B，A∩B 发现 感悟 两题均有求A∩B，不同的是高考题需对集合A化简，即解不等式，并且需对的取值进行估算．纵观两题，启示我们不可忽视教材的基础本位作用 二、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编]已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|1<x<3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 答案：{a|a≥3} 2．(人教A版必修第一册P14习题1.3T1改编)集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B. 答案：A∪B＝{x|x≥1}　A∩B＝{x|3≤x<4} 3．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<9}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 答案：∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥9}　∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥7}　(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<9}　A∪(∁RB)＝{x|x≤2或3≤x<7或x≥9} 4．(人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤9}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，试求集合B. 答案：B＝{0，2，4，6，8，9} 5．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A∪B＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 答案：存在　a＝0或a＝2 三、易误易混澄清 1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝(　　) A.1 B．0或1或3 C.0或3 D．1或3 C　解析：由B⊆A，得m＝3或m＝，解m＝，得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1.故m＝0或m＝3. 2．(忽视空集的情况)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为(　　) A.－1 B．1 C.－1或1 D．0或1或－1 D　解析：由M∩N＝N，得N⊆M.当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，＝a，解得a＝±1.故a的值为±1，0. 3．(忽视集合运算中的端点的取舍)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案：[3，＋∞)　解析：由A∪B＝A，得B⊆A，如图所示，所以m≥3. [对应学生用书P2] 考点一　集合的含义与表示 1．(2025·海口模拟)已知集合A＝{x|x∈Z，∈Z}，则集合A中的元素个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：因为x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，3，1，所以x的值分别为3，5，1，－1，故集合A中的元素个数为4. 2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 C　解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2. 3．(2025·济南模拟)已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素为2，则实数x＝________． 答案：1　解析：因为x2＋1－x＝(x－)2＋＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1，显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意． 解决集合含义问题的关键点 一是确定构成集合的元素． 二是确定元素的限制条件． 三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 考点二　集合间的基本关系 [例1] (1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 答案：(1)B　(2)[－1，＋∞)　解析：(1)依题意知，M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)由题可知， ①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，解得－1≤m≤2. 综上可知，实数m的取值范围是[－1，＋∞). 利用集合间关系解决问题的注意点与关键点 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系的问题时，注意考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素间或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 训练1 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1. (2)已知集合{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，则满足条件的A的个数为(　　) A．16 B．15 C．8 D．7 A　解析：因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，所以集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6中的0，1，2，3，4个，因此满足条件的集合A有24＝16(个). 考点三　集合的基本运算 考向1　集合的交、并、补运算 [例2] (1)(2025·重庆模拟)已知集合N＝{1，2}，则满足M∪N＝{x∈Z|x2－4x<0}的集合M共有(　　) A．1个 B．3个 C．4个 D．8个 (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} (1)C　(2)D　解析：(1)由x2－4x<0，可得0<x<4，所以M∪N＝{x∈Z|x2－4x<0}＝{1，2，3}，所以M中一定有3，可能有1，2，故M的个数为22＝4. (2)因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，所以∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 考向2　利用集合的运算求参数范围 [例3] (1)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x＜a}，且M∩N＝N，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，] B．(4，＋∞) C．(－∞，4] D．(，＋∞) (2)(2025·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) (1)C　(2)A　解析：(1)由M∩N＝N，可得M⊇N.当N＝∅时，a≤；当N≠∅时，借助数轴易知＜a≤4.综上可知，a≤4. (2)因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]. 集合基本运算的思路 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 训练2 (1)(2025·八省高考综合改革适应性演练)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0}　B．{1}　C．{0，1}　D．{－1，0，1，4} C　解析：由题意可得A∩B＝{0，1}． (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM BD　解析：∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M可得(∁RN)⊇(∁RM)，故C错误，D正确． (3)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，则实数m的取值范围为________． 答案：[2，＋∞)　解析：由题意得A＝{x|x≥－m}，∴∁UA＝{x|x<－m}．∵B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2. ∴m的取值范围为[2，＋∞). [对应学生用书P4] [例] (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群 B．G＝{x|x＝，k∈Z，k≠0}∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 CD　解析：对于A，若G＝{－1，0，1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1，0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝∉G，故B错误；对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}，则对所有的a＝m1＋n1，b＝m2＋n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立，∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． 集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 训练1 (多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　) A．集合A＝{－2，－1，0，1，2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A BD　解析：对于A，在集合A＝{－2，－1，0，1，2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 训练2 设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A*B表示的6位字符串是(　　) A．101010 B．011001 C．010101 D．000111 C　解析：由题意可得，若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A*B＝{2，4，6}，即A*B表示的6位字符串是010101. 训练3 (多选)大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为A×B.即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是(　　) A．M×N＝N×M B．(M×N)×T＝M×(N×T) C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T) D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T) ABC　解析：对于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，则 M×N＝{(1，1)，(1，2)}，N×M＝{(1，1)，(2，1)}，M×N≠N×M，A错误； 对于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×N＝{(1，2)}，(M×N)×T＝{((1，2)，3)}， 而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，B错误； 对于C，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3)}， M×N＝{(1，2)}，M×T＝{(1，3)}，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C错误； 对于D，任取元素(x，y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T， 于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，即(x，y)∈(M×N)∩(M×T)， 反之若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T， 因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T， 所以(x，y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正确． 训练4 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________． 答案：27　解析：不妨令A＝{1，2，3}，因为A1∪A2＝A，所以当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}；当A1＝{1}时，A2可以为{2，3}，{1，2，3}共2种；同理，当A1＝{2}，{3}时，A2各有2种；当A1＝{1，2}时，A2可以为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种；同理，当A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种；当A1＝{1，2，3}时，A2可以为A1的子集，共8种．故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆． [课时训练(1)见P337] 学科网（北京）股份有限公司 $$