第2章 第2节 函数的单调性与最值（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第二章 函数 第2节　函数的单调性与最值 衔接教材 夯基固本 一、函数的单调性 增(减)函数 对比 增函数 减函数 定义 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(递减)时，我们就称它是________________________ 衔接教材 夯基固本 单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I___D，如果∀x1，x2∈I 结论 当x1＜x2时，都有____________________，那么就称函数f(x)在区间I上________________ 当x1＜x2时，都有____________________，那么就称函数f(x)在区间I上________________ ⊆ f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 单调递增 单调递减 续表 衔接教材 夯基固本 图示 特点 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 续表 衔接教材 夯基固本 单调区间 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x∈D，都有f(x)____M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)____M (1)∀x∈D，都有f(x)____M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)____M 结论 M为最大值 M为最小值 ≥ ≤ ＝ ＝ 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ 在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0]　　　　　　B．[－1，0] C.[－1，1]　 D．[0，＋∞) 衔接教材 夯基固本 追根 溯源 (人教A版必修第一册P100复习参考题3T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围 发现 感悟 高考题考查由分段函数的单调性求参数范围，与教材习题相比较，高考题不但考查二次函数单调性，还考查指、对函数的单调性，综合性进一步加强 衔接教材 夯基固本 二、教材典题改编 A 衔接教材 夯基固本 A 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 BD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D．b>a>c D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 关键能力 进阶突破 ACD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（8） 温馨提示 谢谢观看！ 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解它的作用和实际意义．(重点) 2．掌握函数单调性的判断及简单应用．(热点) 1．单调函数的定义 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的________________． 关于函数单调区间需注意： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 1．(人教A版必修第一册P79练习T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ D．y＝ex 2．(苏教版必修第一册P121T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 3．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为______，最大值为________． 答案：　2 4．(人教B版必修第一册P107练习BT1改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________. 答案：[－1，1)　 解析：由条件知解得－1≤a＜1. 三、易误易混澄清 1. (易忽略两个区间不能用“∪”连接)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________． 答案：[－1，1]，[5，7] 2．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，2]　 解析：函数f(x)＝x2－2mx＋1的对称轴为直线x＝m，由题意知[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2. 3．(忽略单调区间与定义域的关系)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________． 答案：(－3，3)　(－3，0]　 解析：对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3，3).令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]. 4．(易忽视x2的范围导致值域变大)函数y＝的值域为________． 答案：[－1，1)　 解析：由y＝＝＝1＋，令t＝x2＋1，则t≥1，∴∈[－2，0)，∴y＝1＋∈[－1，1)，∴所求函数的值域为[－1，1). 考点一　确定函数的单调性 考向1　求具体函数的单调区间 [例1] (1)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________． (2)函数y＝－的单调增区间为_______． 答案：(1)(－∞，0]，[1，＋∞)　(2)(－∞，－2] 解析：(1)由题意知g(x)＝该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0]，[1，＋∞). (2)由x2＋2x≥0，得x≤－2或x≥0，则函数的定义域为(－∞，－2]∪[0，＋∞)，令t＝x2＋2x，则y＝－，因为t＝x2＋2x在(－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，y＝－在定义域内为减函数，所以y＝－在(－∞，－2]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝－的单调增区间为(－∞，－2]. 求函数的单调区间的方法 (1)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． (2)复合函数法：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 考向2　判断函数的单调性 [例2] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：方法一(定义法)　设∀x1，x2∈(－1，1)且x1<x2， f(x)＝a()＝a(1＋)， 则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝. 因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法)　f′(x)＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 判断函数单调性常用的方法 (1)定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间). 训练1 (多选)下列函数在其定义域内是增函数的为(　　) A．y＝|x2－2x| B．y＝ex－e－x C．y＝log0.5(x＋1) D．y＝x＋cos x 解析：对于A，作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示， 易知函数y＝|x2－2x|在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以y＝ex－e－x是R上的增函数，故B正确；对于C，函数y＝log0.5x是减函数，而y＝x ＋1为增函数，所以函数y＝log0.5(x＋1)在定义域(－1，＋∞)上为减函数，故C错误；对于D，y＝x＋cos x的定义域为R，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，故y＝x＋cos x是R上的增函数，故D正确． 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较大小问题 [例3] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b 解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－)＝f().当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f()>f(e)，即b>a>c. 考向2　求函数的最值 [例4] (2025·临沂模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A．[1，] B．[0，1] C．[0，] D．[，] 解析：由y＝x在[1，4]上单调递增，且y＝在[1，4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为[0，]. [例] (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为[，＋∞) D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 解析：对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6)； 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为[，＋∞)；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝ 与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). 考向3　利用单调性解函数不等式 [例5] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________________． 答案：(－，－2)∪(2，)　 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1).所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. 考向4　利用函数单调性求参数问题 [例6] 设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1，4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) 解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 单调性应用的基本思路 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 训练2 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：通解(复合函数法)　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2. 光速解(特值法)　取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C. (2)已知函数f(x)＝lg x－()x，f(m)＝1，且0<p<m<n，则(　　) A．f(n)<1且f(p)>1 B．f(n)>1且f(p)>1 C．f(n)>1且f(p)<1 D．f(n)<1且f(p)<1 解析：∵函数y＝lg x，y＝－()x在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n). (3)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2，1) B．(0，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 函数单调性的应用——衔接高等数学 [例] (2025·邢台期末)保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26千米．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是该市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为y＝(e＋e－)，当其中参数a＝1时，该函数就是双曲余弦函数cos hx＝，类似的有双曲正 弦函数sin hx＝.设函数f(x)＝sin hx·cos hx，若实数x满足不等式f(3x－4)＋f(x2)<0，则x的取值范围为(　　) A．(－4，1) B．(－1，4) C．(－4，－1) D．(1，4) 审题指导：根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可． 解析：由题意，f(x)＝sin hx·cos hx＝·＝，函数定义域为R，且为增函数，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由f(3x－4)＋f(x2)<0，即f(x2)<－f(3x－4)＝f(4－3x)，所以x2<4－3x，解得－4<x<1，所以x的取值范围为(－4，1). 训练 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数．例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0} B．{－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－1，0，1} 解析：由函数f(x)＝－＝1－－＝－，因为ex＋1>1，所以－1<－<0，－<－<，所以－<f(x)<，所以[f(x)]＝－1或0，所以y＝[f(x)]的值域为{－1，0}． $$