精品解析：2025年广东省清远市连州市三模数学试题

2025年连州市三模数学试卷 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A. a＜b＜d＜c B. b＜a＜d＜c C. a＜d＜c＜b D. c＜a＜d＜b 2. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 3. 据统计，2016年前两个月，我国进出口总值为37900元人民币，将37900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. ＝±4 B. （ab2）3＝a3b6 C. a6÷a2＝a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 6. 有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，在时有最小值，则（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或 D. 或 9. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．化简： ______． 12. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________． 13. 若与的和是单项式，则的值为______． 14. 如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为_________． 15. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 18. 如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至． （1）如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 21. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 23. 问题背景 （1）如图（1），在中，，D为延长线上一点，连接，于E，交于点F，求证：． 问题探究 （2）如图（2），在“问题背景”的条件下，在中，，平分，求证：． 拓展提升 （3）如图（3），在“问题背景”的条件下，F为上一点，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年连州市三模数学试卷 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A. a＜b＜d＜c B. b＜a＜d＜c C. a＜d＜c＜b D. c＜a＜d＜b 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简即可． 【详解】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=，，， ∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c． 故选：A． 【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，解题关键是正确化简各数． 2. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：该图形的黑眼球都在眼睛的左侧，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不会重合，故B选项不符合题意； C选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不会重合，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把该图形沿虚线折叠，虚线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 据统计，2016年前两个月，我国进出口总值为37900元人民币，将37900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：37900用科学记数法表示为． 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．解决本题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠5=40°，再由平行线的性质得到∠4=∠5=40°，则∠3=∠2+∠4=70°． 【详解】解：如图所示，∵∠1=140°， ∴∠5=180°-∠1=40°， ∵m∥n， ∴∠4=∠5=40°， ∴∠3=∠2+∠4=70°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形外角的性质与平行线的性质是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. ＝±4 B. （ab2）3＝a3b6 C. a6÷a2＝a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的定义，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】A.，故本选项不合题意； B．（ab2）3＝a3b6，正确； C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意； D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 6. 有5个完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片，其数字是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果， ∴正面的数字是奇数的概率为； 故选D． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 7. 一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是整式的乘法在实际中的应用，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据三角形的面积等于底乘以底上高的一半，来解决此题． 【详解】解：根据题意，得， 即这个三角形的面积为． 故选：C． 8. 已知二次函数，在时有最小值，则（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． 9. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为平行四边形对边相等，所以周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝36，则AB+BC＝18，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝28，即可求出AC的长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长是36cm， ∴AB+BC＝18cm， ∵△ABC的周长是28cm， ∴AB+BC+AC＝28cm， ∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+BC）＝28﹣18＝10（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键． 10. 在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数的图象经过一、三象限， 故C选项的图象符合要求， 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，当，时，图象经过第一、二、三象限；当，时，图象经过第一、三、四象限；当，时，图象经过第一、二、四象限；当，时，图象经过第二、三、四象限． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．化简： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，在数轴上表示有理数，以及运用数轴化简绝对值，先由数轴得，则，，再化简绝对值，即可作答． 【详解】解：先由数轴得，， 则， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，图象与x轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13. 若与的和是单项式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是理解题意，掌握同类项的定义．先根据同类项定义：“含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项”，求出，，再代入求值即可． 【详解】解：与的和是单项式， 单项式与是同类项， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 14. 如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵，轴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是_________． 【答案】11． 【解析】 【分析】先构造出与ABG全等的HEF，再利用面积和即可得出的面积． 【详解】 解：如图所示，延长ED至H ，使EH=AB，连接AH，FH， ∵AB∥EH， ∴四边形ABEH是平行四边形， ∴BE∥AH，BE=AH， ∵□BEFG中，BG=EF，GF∥BE，GF=BE， ∴GF∥AH，GF=AH， ∴四边形AHFG是平行四边形， ∴AG=FH， ∴△ABG≌△HEF， 过点F作FN⊥AB于N，交直线CD于M， ∴FM⊥CD， ∴四边形ABMN是矩形， ∴FN+FM=MN=AD= ， ∵S△ABG+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， 即S△HEF+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， ∴S△BEF==+2=11． 故填：11． 【点睛】本题考查正方形的性质及矩形的性质和判定．正确添加辅助线构造出全等三角形是正确解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算乘法运算，二次根式的乘法运算，零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法运算，二次根式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键． 17. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 作图如下： （2）猜想：四边形是菱形， 证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接与这点即为的平分线，即可得到本题答案； （2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下： 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至． （1）如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）证明：由翻折得，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）由翻折得，，，由，得，则，所以，则，即可证明四边形是菱形； （2）作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）． 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者 甲 乙 丙 平均数 x 中位数 y 8 6 同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8． 乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8． 丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10． 根据以上信息，回答下列问题： （1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）； （2）统计表中________，________； （3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁． 【答案】（1）乙 （2）；9 （3）解：乙，理由如下 据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数和平均数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键． （1）根据靶图可知乙的射击成绩最集中，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）无论改变乙中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好； 【小问2详解】 解：由题意得，甲的平均数为，即 把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴轴，， ∴的面积． 21. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 （2）当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）菱形 （2）， 证明：，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得点与点关于直线对称，则直线垂直平分，所以，，由矩形的性质得，则，而，所以，则，所以，即可证明四边形是菱形，于是得到问题的答案； （2）①由，，，求得，所以，则，而，所以，则； （3）分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，由，得；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称， 直线垂直平分， 点与点重合， 直线垂直平分， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形． （2）略 （3）的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 23. 问题背景 （1）如图（1），在中，，D为延长线上一点，连接，于E，交于点F，求证：． 问题探究 （2）如图（2），在“问题背景”的条件下，在中，，平分，求证：． 拓展提升 （3）如图（3），在“问题背景”的条件下，F为上一点，，，，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵于E，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． （2）证明：由上一问得：，， 又∵， ∴， ∴， ∵BF平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）根据等角的余角相等证明，进而根据相似三角形的判定定理可得结论； （2）先证明得到，再证得到，进而可得结论； （3）作的延长线于H交的延长线于点G，先证明，由设，则，利用锐角三角函数得到，则，证明即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作的延长线于H交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $