专题03 三角函数与解三角形（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的诱导公式 题型03 三角函数的图象与性质 题型04 三角恒等变换 题型05 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·甘肃金昌·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )三角函数的诱导公式 3．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 4．（2025·甘肃·二模）若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )三角函数的图象与性质 5．（2025·甘肃白银·二模）已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 6．（2025·甘肃白银·二模）函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃金昌·二模）已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，，则下列结论一定正确的有（    ） A．若，则与有相同的零点 B．若，则与的图象关于y轴对称 C．若，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D．若，则与有相同的单调区间 10．（2025·甘肃·二模）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 11．（2025·甘肃·二模）已知函数的图象过点，且两条相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．直线为函数图象的一条对称轴 D．在上的值域为 ( 题型0 4 )三角恒等变换 12．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．与的图象关于直线对称 13．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 . 14．（2025·甘肃白银·二模）已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃·二模）中，，． (1)角，所对的边为，，若，，求的长； (2)若，当的面积最大时，求． ( 题型0 5 )解三角形 16．（2025·甘肃白银·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，的面积为． (1)证明：是钝角三角形； (2)求的周长； (3)求的外接圆的面积． 17．（2025·甘肃白银·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求； (2)求的面积； (3)求的值. 18．（2025·甘肃·二模）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·甘肃·二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 20．（2025·甘肃·二模）在中，内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若的外接圆半径为2，且，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的诱导公式 题型03 三角函数的图象与性质 题型04 三角恒等变换 题型05 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·甘肃金昌·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：C. 2．（2025·甘肃·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合可得与，进而可得. 【详解】则， 即， 又因为，故，，， 故，因为，则， 结合可得，，则. 故. 故选：C ( 题型02 )三角函数的诱导公式 3．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义计算角的正切值，再用诱导公式求解即可. 【详解】由正切函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故答案为： 4．（2025·甘肃·二模）若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式可得解. 【详解】设点在角α的终边上，则在角的终边上， 由三角函数的定义，可知，则， 则点 ，即. 故选：B. ( 题型0 3 )三角函数的图象与性质 5．（2025·甘肃白银·二模）已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】BC 【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】对于A，的极小值为， 的最小正周期，又， ∴， ， 解得：， ，故A错误； 对于B，由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确； 对于C，由得，则在区间上单调递减，故C正确；对于D，， 在区间上的值域为，故D错误. 故选：BC 6．（2025·甘肃白银·二模）函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可． 【详解】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 故选：C 7．（2025·甘肃金昌·二模）已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式化简，确定函数周期，再结合等差数列下标和性质即可求求解. 【详解】函数 ， 由题意得等差数列的公差，因此. 故选：A. 8．（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 【答案】D 【分析】由三角函数平移法则，可判断AB，由可判断C，由可判断D. 【详解】对于选项A，若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，故选项A错误； 对于选项B，，则，解得， 又因为，故当时，取得最小值，最小值为，故选项B错误； 对于选项C，若在区间上单调递增，则有， 解得，又， 所以，所以的取值范围为，故选项C错误； 对于选项D，若在区间上只有一个零点，则有， 解得，故选项D正确. 故选：D 9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，，则下列结论一定正确的有（    ） A．若，则与有相同的零点 B．若，则与的图象关于y轴对称 C．若，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D．若，则与有相同的单调区间 【答案】BC 【分析】对于A，令函数等于零，求出即可判断；对于B，由代入，可得，即可判断；对于C，由，利用平移变换可得，即可判断；对于D，将代入，可得，即可判断. 【详解】对于A，若，令，得，，令，得，，则与没有相同的零点，故A不正确； 对于B，若，则，则， ，则与的图象关于y轴对称故B正确； 对于C，若，则，将的图象向右平移个单位长度, 则，故C正确； 对于D，若，则， 则，则与单调性相反，与没有相同的单调区间，故D不正确． 故选：BC. 10．（2025·甘肃·二模）函数，则（    ） A．函数最小正周期为 B．是函数的一条对称轴 C．函数图象有对称中心 D．若有四个解，则 【答案】AB 【分析】画出函数图像，根据图像判断各个选项的对错即可. 【详解】对于A：， 函数图像如下： 可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：由图可得是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C：根据函数图象可知函数没有对称中心，故C错误； 对于D：由图可得当函数时，，所以有四个解，则也可以是，D选项错误. 故选：AB. 11．（2025·甘肃·二模）已知函数的图象过点，且两条相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．直线为函数图象的一条对称轴 D．在上的值域为 【答案】ACD 【分析】先求出参数的值.选项A，由相邻对称轴间的距离得出函数的最小正周期，进而求出的值；选项B，一种解法是先求出函数的单调递增区间，对照选项做出判断即可；另一种解法是由，求出的范围，对照正弦函数的单调区间做出判断即可；选项C，一种解法是先求出函数的对称轴方程，对照选项做出判断即可；另一种解法是将代入函数解析式检验，做出判断即可；选项D，求出，结合正弦函数的单调性求出函数的最值即可. 【详解】由的图象过点，知，即． 选项A，因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，故A正确． 选项B，． 法一：由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B不正确． 法二：当时，， 正弦函数在区间上先增后减， 所以函数在上不单调，故B不正确． 选项C，法一：由，得． 当时，，所以直线为函数图象的一条对称轴，故C正确． 解法二  因为， 所以直线为函数图象的一条对称轴，故C正确． 选项D，由，得， 当时，即，函数取得最大值， 当时，，即，函数取得最小值； 所以， 所以，故D正确． 故选：ACD. ( 题型0 4 )三角恒等变换 12．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．与的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】由辅助角公式得，再根据图象平移得，结合正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则， 所以，A错； 由，故的图象关于直线对称，B对； 由，则，故在上单调递增， 所以在区间内单调递减，C对； 由， 显然，则与的图象不关于直线对称，D错. 故选：BC 13．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】将替换成，再让两式相减可得，对条件进行平行后两式相加即可求的值. 【详解】因为①， 所以 由题意可化简②， ①-②可得，所以. 又③，④， ③+④可得，即. 故答案为： 14．（2025·甘肃白银·二模）已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题结合倍角公式可得，可得，据此可判断选项正误. 【详解】由倍角公式得， 解得或 （舍去）， 设角的终边经过的点，则，即. 对于A，对于B，；对于C，；对于D，. 故选：C． 15．（2025·甘肃·二模）中，，． (1)角，所对的边为，，若，，求的长； (2)若，当的面积最大时，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用边化角和二倍角公式得，所以，或，分情况求的长； （2）根据题意，的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，显然当时，的面积最大，可得，再利用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，，所以，． 因为，根据正弦定理，可知， 由二倍角公式得：， 所以，或，即，或， ①时，因为，所以， 在中，根据余弦定理可得： ， 故； ②时，因为，所以是边长为6的等边三角形， 因为， 故， 解得． 所以，或； （2）因为， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆， 显然当时，的面积最大． 此时，，， 所以 ． ( 题型0 5 )解三角形 16．（2025·甘肃白银·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，的面积为． (1)证明：是钝角三角形； (2)求的周长； (3)求的外接圆的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 (3) 【分析】（1）根据正弦定理由角化边，再根据余弦定理解三角形，由角的余弦值说明为钝角三角形. （2）根据正弦定理面积公式和余弦定理解三角形，求出各边长，求出周长. （3）根据正弦定理求出外接圆半径，计算外接圆面积. 【详解】（1）已知，由正弦定理得，化简得， 由余弦定理可知，所以，是钝角三角形. （2）已知的面积为，所以， 由（1）知，所以， 所以，解得， 根据余弦定理可得， 所以周长为. （3）设外接圆半径为，由正弦定理得，代入得，解得， 所以外接圆面积为. 17．（2025·甘肃白银·二模）已知的内角的对边分别为. (1)求； (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据同角三角函数关系及正弦定理计算求解； （2）应用余弦定理计算得出，再根据面积公式计算； （3）应用两角和正弦公式计算得出，再根据同角三角函数关系得出余弦值最后根据两角差余弦公式计算. 【详解】（1）在中，因为，所以， 由正弦定理，得. （2）由余弦定理，及， 得，解得， 故的面积为. （3）在中，因为，所以为钝角，为锐角， 所以， 所以， ， 则. 18．（2025·甘肃·二模）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案. 【详解】由，解得， 设AB的中点为D，则， 则 ， 则， 故AB边上的中线长为. 故选：D. 19．（2025·甘肃·二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由得， 所以，即. 因为，所以.又， 所以.因为，所以. （2） 由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 20．（2025·甘肃·二模）在中，内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若的外接圆半径为2，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意表示出，利用正弦定理将角化边，借助余弦定理化简即可; （2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出的面积即可. 【详解】（1）由已知，即， 由正弦定理得，即， 整理得，即， 又，故； （2）因为，所以，则， 即，又，所以． 因为的外接圆半径， 所以由正弦定理可得，所以， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$