专题02 函数与导数（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数得出对称中心判断A，求导数得出函数是偶函数判断B，应用对称性与周期性判断C，应用周期性求函数值计算求解D. 【详解】因为函数，的定义域均为R，，所以， 所以关于对称，的图象关于点对称， 又因为是奇函数，，所以，， 所以是偶函数，所以是偶函数，A选项正确；B选项正确； 是奇函数，关于对称，所以， 所以，所以的周期为4，C选项正确； ，D选项错误； 故选：ABC. 3．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可. 【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数， 对于B，的定义域为，且，奇函数； 对于D，的定义域为，，奇函数； 因此排除选项B，D这两个奇函数； 由图象知，若取一个很小的正数，比如， 对于A：，函数值为正数，因此排除A. 对于C: 的定义域为， ，，综上只有C符合， 故选：C. 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 5．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】# 【分析】考虑每个选项和圆的关系，考虑每个选项的几何意义即可求解 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为 ，所以， 当时取等号， 所以，则的最小值为. 故答案为： 6．（2025·甘肃·二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． 【答案】ACD 【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合可求解ABD,由零点存在性定理即可判断C. 【详解】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确， 由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而， 所以的图象关于对称， 对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确 对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确， 对于B，，所以8不是的周期， 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见的奇偶性与对称性结合的结论有： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． ( 题型02 )指对幂函数 7．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 8．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数（，）的图象关于点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则化简，因该式子恒成立，与无关，即可列出关于的方程组. 【详解】因关于点中心对称，则， 即， 该式成立与x的取值无关，则，且， 因，则，则． 故答案为： ( 题 型 0 3 )函数的应用 10．（2025·甘肃白银·二模）设函数，则的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成函数和函数在上交点个数，在同一坐标系中作出图象，数列结合，即可求解. 【详解】因为，易知定义域为， 显然当时，，所以时，无零点， 故只需考虑的情况，由，得， 即，且， 由，得到，即， 又，得， 令，， 如图，在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，    由图知，两个函数的图象在上有三个公共点，所以有三个零点， 故选：B. 11．（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 【答案】D 【分析】由三角函数平移法则，可判断AB，由可判断C，由可判断D. 【详解】对于选项A，若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，故选项A错误； 对于选项B，，则，解得， 又因为，故当时，取得最小值，最小值为，故选项B错误； 对于选项C，若在区间上单调递增，则有， 解得，又， 所以，所以的取值范围为，故选项C错误； 对于选项D，若在区间上只有一个零点，则有， 解得，故选项D正确. 故选：D 12．（2025·甘肃金昌·二模）函数与的图象在区间上的交点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，数形结合即可求解． 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有9个交点， 故选：D． 13．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由存在两个不同的点满足条件，可得出存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A ( 题型0 4 )导数的几何意义 14．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时，，再根据过原点切线的求法求切线即可； （2）由恰有两个不同的正实数根，等价于在有两个不同的解，令，求导分析单调性，根据单调性作图即可确定的取值范围. 【详解】（1）当时，，设直线的方程为， 曲线与直线相切于点， 因为，所以①， 又点既在曲线上，又在直线上， 所以②，由①②得，所以， 所以，故的方程为. （2）由得：， 恰有2个正实数根恰有两个正实数根， 令，则与有两个不同交点， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示， 当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为. 15．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，进而求，即切线方程为即可求解. 【详解】由题意有， 所以切线方程为，即， 故选：C. 16．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【详解】（1）当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； （2），， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 17．（2025·甘肃白银·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. （3））因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 18．（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数形转化，等价于研究恒成立的，再同构函数，求导可求最小值，最后利用不等式恒成立可求参数范围. 【详解】由曲线恒在直线的上方， 可得， 令，因为，所以， 则构造，求导得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以有，此时， 根据函数图象的交点可知： 即存在正数使得，此时， 要满足对任意恒成立， 则必须要使得时也要成立，即，解得，这是必要性， 再证明充分性，当， 所以实数a的取值范围是, 故答案为： 19．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718. (1)判断函数的零点个数； (2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理可判断； （2）由（1）知，对于通过二次求导，确定的单调性，进而可确定极值点，即可比较. 【详解】（1）， 令，解得. 当时，， 当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 令， 当时，可令，则， 易知当时，， 当时，， . ， ，即在区间上无零点， 又， ， 使得， 即在区间上有一个零点， 函数的零点个数为1. （2）证明：由（1）可知，函数有唯一零点，且. 下面判断函数的极值点情况， ， 令， 则， 当时，， 在区间上单调递增， 当时，， 在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增， ， 令， 令，解得. ， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又， . 又， 使得， 即， 且当时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数存在唯一的极值点， 且. 综上，. 20．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解. 【详解】由题意，得， 若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去， 若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为.， 故答案为： 21．（2025·甘肃金昌·二模）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】由，去绝对值，求导确定函数单调性，进而可求解. 【详解】函数的定义域为. 当时，易知在上单调递增，. 当时，.， 令，解得， 可得：当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以函数的最小值为. 故答案为： 22．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．在区间上单调递减 C．的图象上不存在关于对称的两点 D．当的极小值大于时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】求导，确定函数的单调区间，进而可判断ABD，由解方程可判断C. 【详解】令，因为， 所以有两个不同实数解，不妨假设，则. 易知的单调增区间是，减区间是 对于A选项，由单调性可知为极大值点，为极小值点，所以A正确； 对于B选项，由， 的解集为，其中， 所以当时，，所以在区间上单调递减，所以B正确； 对于C选项，令，即，解得，故存在关于对称的点，所以C错误； 对于D选项，由的极小值大于和， 由其单调性可知：在上恒成立， 则， 令， 则， 令，可得， 由其单调性已知：时，在单调递减， 当时，在单调递增， 所以， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 23．（2025·甘肃白银·二模）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知和函数的性质，若，则和都是增函数，它们的解相同，可得，即，代入构造函数，利用导数即可求得的最小值，即为答案. 【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 24．（2025·甘肃·二模）对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【详解】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. ( 题型0 6 )导数的综合 25．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由，，，解方程，可以求出，从而可求出. （2）根据帕德逼近定义与对称变换，可把题目转化成与0的比较大小的问题，对求导，可解决问题. （3）由帕德逼近定义，可以把第三问转化成不等式恒成立问题，用“端点效应”可解决问题. 【详解】（1）对于函数 ，其在 处的 阶帕德逼近为 ，需满足： ，，； 计算 的导数： ，，故 ， ，故 ， 由 ，得 ； 计算 的导数： ，， ，故 ， ，， 故 ， 因此，. （2）已知函数 与 的图象关于直线 对称， 故 是 的反函数，即 . 由（1）知 ，则：， （当 ）， 令； 其中定义域为， ，，又对任意成立， 在上单调递减，又， 因此：当 时，； 当 时，. （3）由帕德逼近定义，需匹配至四阶导数： ，，，，， 代入 ，得 ，，故 ，且 ，； 不等式为 ，代入得， 对任意 成立， 定义函数 （)，需 ， ，，， ，， 必要条件：， 当 时， 对 成立； 当 时，存在 使 ； 故实数 的取值范围为 . 【点睛】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 26．（2025·甘肃金昌·二模）设函数的定义域为.若实数满足对任意的，都有，则称满足性质. (1)若函数满足性质，求实数的取值范围. (2)设的导函数为，且对任意的，都有. （i）证明：满足性质. （ii）已知数列满足，若，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据满足性质，将代入给定的不等式，化简求解即可； （2）（i）对任意的，设，求，赋值法结合导函数判断函数的单调性和最值，即可证明; （ii）根据题意可得.分和两种情况，分别证明即可. 【详解】（1）因为函数满足性质，所以对任意的. . 解得，所以实数的取值范围是. （2）（i）对任意的，设， 则，且 当时，. 当时，在中，将替换为，将替换为，可得， 整理得.① 当时，由①得.即， 当时，由①得，即. 所以在上单调递增，在上单调递减.从而. 同此对任意的.都有，即. 所以满足性质. （ii）由（i）可知满足性质，令， 所以. 当时，，整理得， 所以. 当时， ， 即. 令，由，得， 令，由，得， ， 因此对任意正整数，都有. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 3．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 5．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 6．（2025·甘肃·二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． ( 题型02 )指对幂函数 7．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数（，）的图象关于点中心对称，则 ． ( 题 型 0 3 )函数的应用 10．（2025·甘肃白银·二模）设函数，则的零点个数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 12．（2025·甘肃金昌·二模）函数与的图象在区间上的交点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 13．（2025·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )导数的几何意义 14．（2025·甘肃白银·二模）已知函数， (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程. (2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围. 15．（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 17．（2025·甘肃白银·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 18．（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 19．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718. (1)判断函数的零点个数； (2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：. 20．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 21．（2025·甘肃金昌·二模）函数的最小值为 . 22．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．在区间上单调递减 C．的图象上不存在关于对称的两点 D．当的极小值大于时，的取值范围为 23．（2025·甘肃白银·二模）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 24．（2025·甘肃·二模）对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． ( 题型0 6 )导数的综合 25．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 26．（2025·甘肃金昌·二模）设函数的定义域为.若实数满足对任意的，都有，则称满足性质. (1)若函数满足性质，求实数的取值范围. (2)设的导函数为，且对任意的，都有. （i）证明：满足性质. （ii）已知数列满足，若，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$