专题05 平面解析几何（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·甘肃白银·二模）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，得再由，得到点在圆上，又点在直线上，求解的范围. 【详解】设，则 ，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上， 故直线与圆有交点， 即，则，解得. 故答案为：. 2．（2025·甘肃金昌·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线方程依次得其渐近线和顶点坐标，再利用点到直线距离即可求解. 【详解】易得该双曲线的渐近线方程为，右顶点坐标为， 则其右顶点到其渐近线的距离为． 故答案为：. 3．（2025·甘肃金昌·二模）若O为坐标原点，P为单位圆O上一动点，Q为直线l上一动点，且对于使直线l的解析式有意义的任意角无论如何变化，的最小值恒为1，则l的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，根据点与直线、点与圆的位置关系，可得的最小值为到的距离减1，从而可得，逐项检验是否对任意角均成立即可得结论. 【详解】由题意可知在圆上，设， 则的最小值为到的距离减1，且到的距离， 则的最小值为，即． 对于A，当时，，此时，不满足题意； 对于B，当时，，此时，不满足题意； 对于C，当时，，此时，不满足题意； 对于D，由于，则恒成立． 故选：ABC. ( 题型02 )圆与方程 4．（2025·甘肃·二模）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出满足条件的过三点的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为，即可得出答案. 【详解】解：设圆心坐标为，则，圆的方程为 因为两点在圆上， 所以，解得或， 当时，为劣弧所对角，故舍去． 所以，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 故选：B． 5．（2025·甘肃平凉·二模）已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意可知，从而得到点的轨迹为是以为直径的圆（去掉A，C两点），再根据圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解. 【详解】如图，圆的圆心为，半径为，则圆与y轴相切，切点为原点O，即为A， 又M为的中点，则，所以点M的轨迹是以为直径的圆（去掉A，C两点）， 其中圆心为，半径为1， 又，所以. 故选：C. ( 题 型 0 3 )椭圆 6．（2025·甘肃白银·二模）我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．a，b，c成等比数列 C．是直角三角形 D．以，为直径的圆是菱形的内切圆 【答案】BCD 【分析】由“黄金椭圆”的定义得到的值，进而求出离心率，即可判断A；由和离心率的值，验证是否成立，即可判断B，求出三边的长，验证是否成立，即可判断C，分别求出菱形的内切圆半径，及圆心到直线的距离，验证是否成立，即可判断D. 【详解】对于A，由“黄金椭圆”的定义可知，即. 所以椭圆的离心率， 因为椭圆的离心率，所以，故A错误； 对于B，由可得， 由可得，所以， 所以，即a，b，c成等比数列，故B正确； 对于C，由题意可知， 所以，，， 因为， ， 所以，所以是直角三角形，故C正确； 对于D，以，为直径的圆的方程为， 菱形的边长为，周长为. 菱形的面积， 设菱形的内切圆半径为， 则菱形的面积周长，所以. 直线的方程为，即， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以以，为直径的圆是菱形的内切圆，故D正确. 故选：BCD 7．（2025·甘肃白银·二模）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【答案】ACD 【分析】A利用定义以及解关于的不等式即可；B 找特殊位置即时；C利用基本不等式求证，若点不在坐标轴上时，即可结合椭圆定义判断；D先得，再利用化简，令，即可化简为关于的方程，再构造函数，通过求导，研究其单调性即可. 【详解】对于A选项，由题意可知，则， 因，所以， 解得，故A正确； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立， 所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部， 故C正确； 对于D选项，由，得， 因，， 则，即， 所以， 即， 令， 则， 令，则， 则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确. 故选：ACD. 8．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 9．（2025·甘肃白银·二模）已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． (1)求椭圆E的标准方程． (2)过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用两点间的距离公式可求得，再由离心率可得，由椭圆中的平方关系可得，由此可得椭圆E的标准方程； （2）（i）由的面积可求得点B到直线的距离为，由此可设与直线平行且距离为的直线方程为，利用两平行直线的距离解出，代入验证可求得点坐标，再筛选符合题意的点即可求得直线的方程；（ii）设直线，与E的方程联立，消去y可得点的横坐标，另一方面， 设直线，与直线的方程联立，也可得点的横坐标，二者相等可得关于直线的斜率的方程， 同理直线的斜率也满足该方程，即，是该方程的两根，利用两根之为2可得之间的关系，由此可证得直线过定点. 【详解】（1）由题意知椭圆E的左顶点的坐标为，则，解得， 又，，解得，，则椭圆E的标准方程为． （2）（i）易知直线MN的方程为，即，， 由的面积为，得点B到直线的距离为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 由，解得或． 当时，由，得， 显然，此时该直线与椭圆无交点； 当时，由，得，解得或 当点B的坐标为时，直线的斜率为2， 此时直线的斜率为0，此时直线与椭圆只有一个交点，不合题意； 当点B的坐标为时，直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，即； （ii）设，，直线，与E的方程联立，消去y得 ， 则，则． 设直线，与直线的方程联立，可得， 则，得， 同理，直线的斜率也满足该式，即，是关于x的方程的两个根， 则，得， 直线，即直线过定点． 10．（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：D. ( 题型0 4 )双曲线 11．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义知，然后解三角形即可得到答案. 【详解】因为分别为双曲线的左､右焦点，所以|， 因为，所以，因为的斜率为，所以， 因为是三角形的内角，所以，在中，由余弦定理得， 所以， 所以，由双曲线的定义知，，即，所以. 故选：A 12．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案. 【详解】因，则. 将代入双曲线方程，则. 则，则由对称性可得，则，. 由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立， 可得或， 则，. 令，可得直线l与x轴交点为. 则. 因为双曲线C上任意一点，则. 则. 故选：D 13．（2025·甘肃金昌·二模）如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质，以及三角形的特征，利用角的关系，列出等式，即可求双曲线的离心率. 【详解】连接，因为四边形为等腰梯形，且， 所以， 所以. 因为，所以，所以. 故选：B 14．（2025·甘肃金昌·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若轴上存在一点，使得直线的斜率之积为，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出、点坐标，设，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为双曲线，所以，解得， 因此， 设，则，所以，解得，即. 故选：A. 15．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C．双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】ABD 【分析】首先由圆与双曲线方程联立，由交点个数确定，即可求解双曲线方程，判断A，代入直线与圆相交的弦长公式，即可判断B，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C，根据AB，结合集合关系，即可判断D. 【详解】A.联立C与M的方程，消去x，得，即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； B.直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为2，B项正确； C.设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且由点差法化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得，，方程无解， 所以不存在，C项不正确； 不妨设，根据AB可知，， 则，，D项正确． 故选：ABD 16．（2025·甘肃白银·二模）已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆和双曲线的基本性质，并利用离心率定义列出关系式，利用函数求出最值即可. 【详解】设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为， 根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知， 两曲线位于第一象限的公共点为， 则， 所以， 所以， 即， 当且仅当时取等号. 故选：A 17．（2025·甘肃·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（    ） A．在直线上取不同于的点，若，则的面积为1 B．若直线的斜率存在，则斜率范围为 C．当直线的斜率为时，的面积为 D．为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为 【答案】BD 【分析】根据，可得是直角三角形，利用勾股定理和双曲线定义可得的面积，判断A；设的方程为：，联立方程组，由方程有两个不互为相反数的异号根得解，判断B；设直线的方程为，联立方程组，由求解判断C；设，，则，先求出的范围即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，    即，所以是直角三角形，则， 又因为，所以， 解得的面积为，故A正确； 对于B，因为，直线的斜率存在且不为0，设的方程为：， 联立方程得：， 因为直线交的右支于，两点，故， 解得：， 所以斜率的范围为，或，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，故直线的方程为， 设，， 由B可知，联立方程得：， 故，， ，故C正确； 对于D，设，，则， 因为 ， 令，则， 设，则， 因为对称轴为， 故，则， 所以，故的最小值在时取得，最小值为，故D错误．    故选BD． 【点睛】关键点点睛：对于D，设，，则，先求出的范围即可判断D. 18．（2025·甘肃·二模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得点点距列方程得代入双曲线求出离心率. 【详解】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限， 因为，所以， 所以，又， 解得， 所以， 所以，解得，所以，代入双曲线方程得：， 解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A的坐标. 19．（2025·甘肃·二模）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2. (1)已知为上任意一点，求的最小值； (2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点. （i）求点的轨迹方程； （ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意结合渐近线方程求得双曲线方程，设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解； （2）（i）（ii）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，进而求点的坐标，并结合得到一组关系式分析求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为，其上焦点坐标为， 一条渐近线方程为，则，解得， 所以的方程为. 设，则，要使最小，由题意知. 则 ， ①当，即时，在内单调递增， 可知当时，； ②当，即时，在内单调递减，在内单调递增， 可知当时，； 综上所述：. （2）（i）联立得，， 由题意知， 则，解得， 且，即， 所以直线的方程为， 令得，；令得，，即， 因为，即， 可得， 所以点的轨迹方程是，方程表示去除上下顶点的双曲线. （ii）联立得，， 由题意知， 则，解得， 且，即， 所以直线的方程为， 令得，；令得，，即， 因为，即， 可得，即， 点的轨迹方程是. 【点睛】方法点睛：与点相关问题的解法 解决与点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． ( 题型0 5 )抛物线 20．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合弦长，利用焦半径公式列方程求出，即可求解抛物线方程； （2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而求出直线的方程，即可求出定点； （3）设点则，设的内切圆半径为，则，进而得，构造函数，利用导数法求解值域即可得解. 【详解】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. （3）设点，已知点，所以的面积， 设的内切圆半径为，则有 所以， 所以. 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点），所以， 所以， 整理得：. 构造函数，得， 显然单调递增，令，解得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递増； 所以，所以. 21．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 22．（2025·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 23．（2025·甘肃白银·二模）下列抛物线中，准线方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线准线方程可判断选项正误. 【详解】对于A，准线为，故A错误； 对于B，准线方程为，故B错误； 对于C，，则其准线方程为：，故C正确； 对于D，，则其准线方程为：，故D错误. 故选：C ( 题型0 6 )直线与圆锥曲线的位置关系 24．（2025·甘肃金昌·二模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的有（    ） A．为等边三角形 B．直线的斜率之积为 C． D．当直线的斜率不存在时，直线的斜率之积与当直线斜率为0时，直线的斜率之积互为相反数 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，，可判定 A；根据椭圆的标准方程和斜率公式，可得判定B；设，得到，结合二次函数的性质，可得判定C；对于D，由斜率公式代入计算即可判断. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，即，则， 又因为，，所以为等边三角形，故A正确； 对于选项B，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，得，整理可得，因此，所以， 化简可得，，因此随着的变化而变化，故B错误； 对于选项C，设，因为，，，则， 所以 ， 又因为，且，所以， 所以成立，故C正确； 对于选项D，当直线的斜率不存在，即时，，当直线的斜率为0时，设，所以，故选项D正确； 故选：ACD. 25．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线为上一动点，且点与点之间的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)连接并延长交抛物线于另一点，若（是原点），求点的横坐标. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设，由两点间距离公式结合二次函数最值计算可求解； （2）设，联立抛物线方程，结合韦达定理得到，进而可求解. 【详解】（1）设点，则 令， 若，则恒成立，，舍去； 若，则当时，，解得或（舍去）. 综上，可知抛物线的方程为. （2）由题意可设，联立抛物线方程， 消去可得：， 设点的坐标为的坐标为， 则，则， 所以，所以. 又，由， 所以， 由， 得， 故点的横坐标为. 26．（2025·甘肃·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点． (1)求点的轨迹的方程； (2)过作直线与曲线相交于，两点． （i），直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点； （ii）为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，定点为；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据题意，与的中点为该圆的圆心，故圆心为，再由，可得点的轨迹的方程； （2）（i）设弦所在直线方程为，设，，设直线，联立方程组，得，同理可得：，解得，故猜想若为定值时，直线过的定点在轴上，证明即可得定点坐标； （ii）根据（i）的方法可得直线过定点，从而得，再利用放缩法和裂项相消法求证. 【详解】（1）因为圆的圆心在轴上移动， 所以与的中点为该圆的圆心，故圆心为． 又因为在圆上，所以， 即， 化简得：， 所以点的轨迹的方程为； （2）因为弦的斜率必不为0，故设弦所在直线方程为， 联立方程，得， 因为交于两点，故，解得，或， 设，，故，． （i）证明：因为，直线，与曲线的另一个交点分别为，， 设直线． 联立方程，得， 所以，，同理可得：． 所以，解得． 由上述解答可知：过轴上一定点的直线与抛物线交于两点时， 这两点的横坐标之积为定值，故猜想若为定值时，直线过的定点在轴上， 下面进行证明． 因为，可得直线的方程为：， 令，解得， 又因为， 根据题目可知，，同号，故，所以， 故直线恒过定点，定点为； （ii）由（i）可知：若抛物线的弦与轴交于点， 若，，则有，． 由证明出的结论可知，，， 因为为点列， 直线，与曲线的另一个交点分别为，， 故，，，． 所以，解得． 因为，可得直线的方程为：， 由（i）同理可得：时，解得， 又因为， 根据题目可知，同号，故，所以， 故直线过定点， 所以， ， 于是． 故，显然， 当时，， 故， 所以，得证． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 27．（2025·甘肃·二模）已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点． (1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标； (2)证明：的外接圆过定点； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标； （2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标； （3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）∵，与抛物线相切于，两点， 设在左侧，则，， 由得，所以， 所以的斜率为，的斜率为， 此时方程：，即． 方程：，即，联立得； （2）设过的两条切线分别与抛物线切于，， 由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即， 直线的斜率为，直线方程为，即， 所以且，， 设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以， 设外接圆方程为：过，所以， 所以，所以， 所以， 整理得， 所以， 令即，所以的外接圆过定点； （3）：，所以，， 所以， 到的距离为，所以， 设，，，由， ，当且仅当时等号成立． 所以， 令，， 在上单调递减，上单调递增， 所以，所以面积的最小值. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，，，由，，当且仅当时等号成立，把三角形的面积表示为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·甘肃白银·二模）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 2．（2025·甘肃金昌·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为 . 3．（2025·甘肃金昌·二模）若O为坐标原点，P为单位圆O上一动点，Q为直线l上一动点，且对于使直线l的解析式有意义的任意角无论如何变化，的最小值恒为1，则l的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． ( 题型02 )圆与方程 4．（2025·甘肃·二模）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃平凉·二模）已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 ( 题 型 0 3 )椭圆 6．（2025·甘肃白银·二模）我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．a，b，c成等比数列 C．是直角三角形 D．以，为直径的圆是菱形的内切圆 7．（2025·甘肃白银·二模）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 8．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 9．（2025·甘肃白银·二模）已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． (1)求椭圆E的标准方程． (2)过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 10．（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． ( 题型0 4 )双曲线 11．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 12．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 13．（2025·甘肃金昌·二模）如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 14．（2025·甘肃金昌·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若轴上存在一点，使得直线的斜率之积为，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C．双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 16．（2025·甘肃白银·二模）已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 17．（2025·甘肃·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（    ） A．在直线上取不同于的点，若，则的面积为1 B．若直线的斜率存在，则斜率范围为 C．当直线的斜率为时，的面积为 D．为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为 18．（2025·甘肃·二模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 19．（2025·甘肃·二模）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2. (1)已知为上任意一点，求的最小值； (2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点. （i）求点的轨迹方程； （ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程. ( 题型0 5 )抛物线 20．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 21．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 22．（2025·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 23．（2025·甘肃白银·二模）下列抛物线中，准线方程为的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )直线与圆锥曲线的位置关系 24．（2025·甘肃金昌·二模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的有（    ） A．为等边三角形 B．直线的斜率之积为 C． D．当直线的斜率不存在时，直线的斜率之积与当直线斜率为0时，直线的斜率之积互为相反数 25．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线为上一动点，且点与点之间的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)连接并延长交抛物线于另一点，若（是原点），求点的横坐标. 26．（2025·甘肃·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点． (1)求点的轨迹的方程； (2)过作直线与曲线相交于，两点． （i），直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点； （ii）为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明． 27．（2025·甘肃·二模）已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点． (1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标； (2)证明：的外接圆过定点； (3)求面积的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$