第二十一章 一元二次方程（复习讲义）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系。 ①了解一元二次方程的定义及其一般形式。 ②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。 ③体会一元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系。 2．能用多种方法解一元二次方程。 ①掌握直接开平方法解一元二次方程。 ②熟练运用配方法解一元二次方程。 ③理解并应用公式法解一元二次方程。 ④学会因式分解法解一元二次方程。 3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。 ①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。 ②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题。 ③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。 通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 题型一 判断是否是一元二次方程 【例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数且未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】A、方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，本选项符合题意； B、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程含分式项，不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意； D、方程含两个未知数和，不是一元方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，不是整式方程，不符合题意；     D. ，是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 题型三 解一元二次方程 【例3】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）移项，得：， 配方，得 ， 解得：． （2）方程整理，得， 即， 解得． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） ，， 解得，． 【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握常用的解方程的方法． （1）因式分解，转化，解一元一次方程即可； （2）整理，开平方，转化，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 于是得，或， ， （2）解： ∴， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴， 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得， ． 方程两边同时开方，得 ， 则，或． ，； （2）解： ． ， ． ，或． ，． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解： 解得，． 题型四 解一元二次方程错解复原问题 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【答案】(1)一 (2)，，过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． （2）解：正确解答过程如下： ， ∴， ∴， ∴． ∴，． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例5】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算：．例如：．方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次方程的一般形式，然后计算判别式判断根的情况．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由定义运算得：， ∴方程可化为： 整理得：， ∵， ∴方程无实数根． 故选：C． 【变式5-4】（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式5-5】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据，构建方程求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ． 故答案为：． 【变式5-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 【例6】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程两个实数根为， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式6-2】设是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ； 故答案为． 【变式6-3】已知关于的一元二次方程，两实数根为和，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，， ．由题得，，得到，代入计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程，两实数根为和， ，， ， ， 故答案为：． 题型七 用一元二次方程解决实际问题 【例7】一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶． (1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶； (2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】(1)20 (2)每顶头盔的售价是70元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意作答即可； （2）设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵每降价10元，每月可多售出200顶， ∴头盔每降价1元，每月可多售出20顶． 故答案为：20； （2）解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， 答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【变式7-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【变式7-2】在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 【变式7-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 【变式7-4】（24-25八年级下·广西梧州·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元? (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润?若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)每双运动鞋的售价应该定为元； (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元． 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）由题意，设与的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图可知，函数图象经过点和， ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元， 根据题意得， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， 答：每双运动鞋的售价应该定为元； （3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下： 保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的， ， 解得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（符合题意）， ， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件； B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程； C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件； 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式，确定各项系数即可求解． 【详解】解：原方程移项得：， ∴方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项． 【详解】解：， 配方得：， 整理方程：， 故选：D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算各选项对应的一元二次方程根的判别式，判断是否有两个相等实数根即可． 【详解】A．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； B．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； C．判别式 ，此时方程有两个相等实根，符合题意； D．判别式 ，无实根，不符合题意． 故选：C． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽，出方程． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为，则长方形的另一边长为， 根据题意得， 故选：C． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“总利润 = 每件利润×销售量”这一数量关系是解题的关键，涉及知识点有利润问题的基本数量关系、一元二次方程的实际应用 ．先分析降价元后每件商品的利润以及销售量，再根据“总利润 每件利润销售量”的关系来列方程． 【详解】解：原来每件商品利润为元，降价元后，每件商品利润为元；原来一天销售件，降价元销量增件，降价元后，销量为件． ∵总利润 每件利润销售量，且总利润为2250元， 故答案为： ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握因式分解法，求根公式解一元二次方程是解题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理得， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴． 12．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法等是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 两边同时除以4，得． 开平方，得， ∴． （2）解：次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 开平方，得， ∴． （3）解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 13．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当的长为时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S与x的关系成为解题的关键． 设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为，若它的面积为，然后利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为， ． ， 当时，S随x的增大而减小， ， ． ， 当时，S有最大值，． 答：当AB的长为时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为， ∴由题意得，解得：， ∵， ∴， ∴方程为：， 提公因式得：， ∴或， ∴方程的两个根为，， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 3．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合根的判别式确定的取值范围． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，联立解不等式组即可． 【详解】由题意得：， ∴ 由得：， 解得： 由得：， ∴的求值范围为：且， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系数的关系得到，． 根据根与系数的关系可得出，，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：0． 7．如图，某小区规划在一个长14米，宽11米的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若平均每块草坪面积为20平方米，则小路的宽度为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为x米，根据草坪的面积相当于一个长为米，宽为的矩形面积建立方程求解即可． 【详解】解；设小路的宽度为x米， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴小路的宽度为1米， 故答案为：1． 8．定义，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题 9．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程可化为， 即， 或， ，； （2）解：， 原方程可化为， 或， ，； （3）解：， 原方程可化为， 其中，，， ， ， ，． （4）解：， 原方程可化为， ， 或， ，． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 【答案】(1)；方程另一个根为； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2）解：因为方程有两个不等的实数根， 所以，即， 解得． 11．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)每件售价应定为52元 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据商家想要达到日利润432元，列出方程求解即可． 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人， ∴该景区5月份的游客人数为万人， ∴6月份的游客人数为万人． ∴五月的人数为万人，六月的人数为万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a （2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为； （3）解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为尽快销售完该款商品 ∴． 答：每件售价应定为52元． 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出的值，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为，， 则：，； （2）解：∵一元二次方程 的两个根为，， ∴，， ∴； （3）解：∵，是关于x的方程的两个实数根 ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， 解得：， ∴不符合题意，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系。 ①了解一元二次方程的定义及其一般形式。 ②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。 ③体会一元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系。 2．能用多种方法解一元二次方程。 ①掌握直接开平方法解一元二次方程。 ②熟练运用配方法解一元二次方程。 ③理解并应用公式法解一元二次方程。 ④学会因式分解法解一元二次方程。 3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。 ①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。 ②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题。 ③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。 通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 题型一 判断是否是一元二次方程 【例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【变式2-2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 题型三 解一元二次方程 【例3】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程： (1) (2) 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【变式3-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 题型四 解一元二次方程错解复原问题 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例5】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式5-2】（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式5-3】（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算：．例如：．方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式5-4】（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【变式5-5】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【变式5-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 【例6】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 【变式6-1】一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 【变式6-2】设是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式6-3】已知关于的一元二次方程，两实数根为和，则代数式 ． 题型七 用一元二次方程解决实际问题 【例7】一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶． (1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶； (2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【变式7-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【变式7-2】在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【变式7-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【变式7-4】（24-25八年级下·广西梧州·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元? (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润?若能，求出定价：若不能，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2) 12．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 13．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 3．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 6．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知、是方程的两个实数根，则 ． 7．如图，某小区规划在一个长14米，宽11米的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若平均每块草坪面积为20平方米，则小路的宽度为 ． 8．定义，则方程的解为 ． 三、解答题 9．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 11．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$