(三)数列综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（三） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) W ②③④ 档次系数 1 选择题 5 等差数列与等比数列 易 0.80 的综合 2 选择题 5 分组求和法求和 易 0.72 3 选择题 5 数学归纳法的原理 易 0.70 4 选择题 5 倒序相加法求和 中 0.55 选择题 等比数列与基本不等 式的综合 分 0.45 6 选择题 5 等比数列的应用 中 0.30 7 选择题 等差数列与等比数列 6 的判断 中 0.68 8 选择题 6 分组求和法 J 难0.28 9 填空题 5 并项求和法 中 0.55 10 填空题 数列的实际应用 中 0.35 11 解答题 13 数学归纳法的应用 % 0.60 等差数列的证明，错位 12 解答题 15 中 0.35 相减法求和 13 解答题 20 数列与不等式的综合 0.28 香考管案及解析 一、选择题 1.D【解析】由题意可得a:十a=2a1,因为(a,}是公 2A【解折】数列1安3十，5日，7…的通项公 比为g的等比数列，所以a:(1十g)=2ag,因为a:≠ 式为a=2m-1+(),所以S=(1+）+ 0,9≠0，所以2g-g-1=0,即(2g+1)(q-1)=0,解 得g=一之或g=1.放选D. (3+)+(5+2)+(7+安)）++(2m-1+) ·55· ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 =心十1一品故选A 乞(-1)：当”为偶数时，a=子心，当n=20时。 1 1 3,D【解析】根据数学归纳法可知：当=k时，干市 ag=7×20=20,故A正确，当n=39时，am 中2…十中>品当w=k+1时中十 专×(39-1)=760，放B正确：当0为偶数时，S +1干2十…十中十百>品，相比从=长到n 名×(-)+×2+号×(3-0+…+ k+1,可知多增加的项为2十2十2有市 1 2[m-1-1门+m=合×+2++m) 1 2k+2(k+1)·故选D, 是=n(n+1)(2n+1)-是=n(m+2)(2n-1).」 12 12 4,C【解析】根据等比数列的性质及a1a:s=1,可得 所以Sw=38X(38+2)X(2X38-1D=9500,故D 1 4 12 aw=1,即a,三：f（x）=1十元 正确：当n为奇数时，S.=S.+1一a+1= (n十1)(n十3)(2n+1)-1 心+(1）=++工=1十子=4，令 1十x 12 (n+1)= (n-1)(n十1)(2n+32,所以Sw= T=f(a,)十f(a)+…+f(a),则T 12 f(a12s)十f(a224)十…十f(a1),.2T=f(a1)十 (19-1)×(19+1)×(2×19+3)=1230,故C错 12 f(a:s)十f(a:)十f(aee4)十…十f(a:s)十 f(a1)=4×2025,.T=4050.故选C. 误.故选ABD 5,B【解析】设正项等比数列{a。}的公比为q,由题意 三、填空题 可得(2a1)=an·an,即2af=a1g-1·a1l,得 9.-2【解析】因为aw=(-1)“(3m-1),所以Sm= (-2)+5+(-8)+11+…+(-56)+59= 2=2则加=3，所以品+（品+》 (-2+5)+(-8+11)+…+(-56+59)=3×10 =30,则S1=Sw+a1=30一62=一32，故S0+ ·(m十n)= (1++”+4)≥(5 十 S1=-2. 10.10【解析】由题意设每个月的收入为数列(a.},其 2√侣·0)=3，当且仅当是=织，即m=1,m=2 前n项和记作S。,前6个月的收人成等比数列，且公 时等号成立，所以品十手的最小值为3.故选B 比为号，第7个月开始收人成等差数列公差为2， 6.B【解析】设每年应该存入x万元，则2024年年初 20×[1-( 存入的钱到2031年年初本利和为x(1+2%),2025 则S= 100×() -100 1- 年年初存入的钱到2031年年初本利和为 x(1十2%)"，，2030年年初存入的钱到2031年年 初本利和为x(1十2%)，则x(1十2%)十x(1十2%) 198.6,又a=a:+2=20×(号）'+2≈51.76，则 +…+x(1+2%)=40,即.02x-L02)=40. a=53.76,a,=55.76,a。=57.76,所以S,≈ 1-1.02 198.6+51.76+53.76+55.76=359.88,S。=S+ 解得x≈5.3.故选B. a10=417.64>400,所以该企业用所得收入偿还400 二、选择题 万元的尤息贷款只需10个月. 7.AD【解折】由酒意得会=3，所以数列。}是 四、解答题 a. 11.解：(1)因为a+1-=a.-2n十3n+1(n∈N), 常数列，所以数列（出}是首项为3，公差为0的等 所以当n=1时，a:=a1-2×1十3×1十1=3： a (2分) 差数列，故A正确：数列《a}的通项公式为aw= 当n=2时，a=2a:-2×2+3×2+1=5:(4分) 3-1,则aw+1一a。=3-3”1=2×3-1,所以数列 当n=3时，a4=3a,-2×32+3×3+1=7.(6分) 〈a+1一aw}是公比为3的等比数列，故B错误： (2)猜想am=2n1(n∈N°)，证明如下： log1a.=log3"-1=n一1，所以数列{loga.}是公差为 当n=1时，由题知a1=1,猜想成立： 1的等差数列，故C错误：aa+1=3”-1·3”=3-, 假设当n=k(k∈N”,k≥1)时，猜想成立，即a4 所以数列{aa+1}是首项为3，公比为9的等比数 2k-1, (8分) 列，故D正确.故选AD. 则当n=k+1时，a4+1=ka,一2k+3k+1=k(2k一 8.ABD【解析】由题意可知当n为奇数时，am= 1)-2k:+3k+1=2k+1=2(k+1)-1, ·56. 所以当n=k十1时，am=2n-1(n∈N·)成立. 所以不存在偶数n满足一2宁-1=n十1： (3分) (12分) 当n为奇数时， 综上所述，任意n∈N”,有a.=2n-1. (13分) 12.解：(1)因为数列{a.}的前n项积为b., 因为a,+2=a,一a1,所以n十2=n-2早， 所以a,=6。二 .(n≥2)： 即2=-2→， 因为2>0.-2号<0， 所以不存在奇数n满足2=一2尸 (6分) 综上所述，不存在正整数，使得a.=a+1十a+:成 化简可得b,一b-1=2(n≥2)， (3分) 立 (7分) 因为b=a1, (2)由题意可得a.=2。 (8分) 放当=1时，子十合=1，解得么=3 (5分) 则Sw=a1十a:十…十an 所以{6.}是首项为3，公差为2的等差数列.(7分) =(a1十a,十十aga-1)+(a2十a4十…十aga) (2)由(1)可得6，=3+2(n-1)=2n十1， (8分) =(1十3+…+2n-1)+(2十2+…+2-1) 所以c,=b-1=2·2-t+1=2”十1， -1t②0D1+号=r+2-13分) 2 故n(c。-1)=n·2, (10分) Sm>aam,即n2+2-1>1·2-1, 令数列{n(G一1)}的前n项和为T。, 则T.=1×2+2×2+3×2+…+n·2"①， 即”十2”-1 21 (15分) 2T.=1×22+2×23+3×2+…+(n-1)·2"+n .2+1②， 令么=n+2-1 21 由①-②得-T.=2十2十2十…十2”-n·2+ 则61-6=n+1)+21-1m+2-1 =(1-n)·2+1-2, (14分) 2m+1-司 2-1 所以T.=2+(n-1)·2+ (15分) =-(n-1)+3 13.解：(1)假设存在正整数n,使得a.=a+1十a+ 2" 当n为偶数时， 当n≥3时，b1一b.<0:当1≤n≤2时，6+1一b> 因为aw+:=a。一4+1，所以2章=2宁-n-1, 0, (18分) 故当n=3时，b.取得最大值b=4, 即-2号1=n十1. 故1∈(-c0,4). (20分) 因为-2号1<0，n十1>0，U 数学（人較A极}选择性必修第二货第1页共页} ① 衡水会馨·先草量·南二同步因测卷三 数学（人较A藏）选择性必修第二后第2页【共4面引 网，解答题（木题共3小圈，共48分。答风写必要的文字说明，正明过程或演算步露） 11.(本小题满分13分) 已知数列a.的前w项和为S.,且=1，a.1=位，一2十3知十1(n∈N'. 1)求4：44山4 (2)精想数列{：，1的通项公式，并用要学归第法证明 12.(本小题满分15分) 已知数列以.的能和项积为，且关士 (1)证明：从)是等差数列： (2)从{6.1中依次取出第1项，第2项，第4项，·，第21项，按原来顺序祖成一个 新数列{c,,求数列(r(。一1的前n项和. 数学（人教A极}选择性必修第二货第3页{共面引 衡水金幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 已知数列a的前n项和为5.，且a.一2一.为倒要 (1是否存在正整数n,便得4。一。1十藏立！若存在，求出r的值：若不存在。 请说明理山： 《2)若存在正整数n,使得S,>Aa.成立，求实数a的取值范同 离二同步丽测花三 数学（人较Λ腰）选择性必修第二册第4页【共4面引