(八)双曲线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（八） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I V ① ②③ ④ ⑥ 档次系数 求双曲线的渐近线 1 选择题 5 易 0.80 方程 由双曲线的定义求 选择题 5 易0.72 轨迹 利用双曲线的定义求 3 选择题 S 最值 L 名 0.60 双曲线的焦点三角形 选择题 面积 的 0.55 5 选择题 5 双曲线的光学性质 中 0.45 6 选择题 5 求双曲线的离心率 中 0.30 二元方程与圆锥曲线 选择题 6 0.50 的关系 8 选择题 6 双曲线与椭圆的综合 难 0.28 9 填空题 5 双曲线的简单性质 0.71 10 填空题 5 双曲线的实际应用 中 0.35 双曲线的方程与性质 11 解答题 13 中 0.60 的综合 双曲线的中点弦问题， 12 解答题 15 由双曲线上点的范围 0.45 求最值 13 解答题 双曲线的弦长问题，定 20 难 0.28 点问题 ·33· ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 解得=“或 1,C【解析】由题意可得n=5一9=16，故该双曲线的 v=b F=-a,取M(a,b),N(-a,-b),又 x=- 新近线方程为y一士严=士号，故选C :A(a,O),∴MA⊥x轴，又∠MAN=否∠NAF 2.A【解析】由已知可得，||PA|一IPB引|=2k<4k 号，则an∠NAF=E=ku=会b=2,5a,则 =|AB|,又因为A,B两地听到炮弹爆炸声的时问 相差2秒，所以炮弹爆炸点P的轨迹可能是以A,B 2=a十=13a,∴e=￡=/3.放选B. 为焦点的双曲线的一支，故选A 3.C【解析】由题意可设双曲线的方程为x2一y2=a, a>0,右焦点为F,则2a=c2=4,解得a=√瓦，则 F,(一2,0)，F(2,0),由双曲线的定义可得|PF| |PF|=2a=2√2，则|PF,I-|PA|=2√2+ |PF:|-|PA|≤2E+|AF:|=2E+1,当F:, A,P三点共线时，取等号，则|PF|一|PA|的最大 值为2√2+1.故选C. 二、选择题 4.D【解析】由题意可知|F,F2|=2×√4十45=14， 7.ACD【解析】对于A,若t∈(4，+∞)，则 1PF1-1PF:=4=号PF:,解得PF1=10: 14-t<0 ,则曲线为焦点在y轴上的双曲线，故A正 t-1>0 |PF:|=6,在△PFF:中，由余弦定理可知 14-1>0 o∠FPF-10-又0<∠FPF 确：对于B,若曲线是椭圆，则t一1>0，解得1<1 2×10×6 14-t≠t-1 <,所以sn∠FPE,=号.所以△PFR的面积S <4且：≠号，故B错误：对子C,依题意得 是×10X6×号=15v厅.故选D (1一>0解得11，故C正确：对于D,若曲线是焦 t-1<0, 5.D【解析】因为e=名=2，所以c=2a,所以6= 点在y轴上的双曲线，则一1>0 ,解得>4，此时 14-t<0 √一a正=√a,不妨设双曲线的标准方程为x一 苦=1，PF,=m(m>0),则1PF,|=m十2，所以 23 a=1-1,b=1-4c2=21-5,则e=名=√号 m2十(m+2)2=4°，解得m=√7-1或m=-√/万-1 -√+2，令0-√层+2，当>4时， (舍去)，所以cos∠F,F:P= =早故 FF f(t)单调递增，当t趋向于十∞时，∫(t)趋向于2， 选D 所以f(t)∈(12)，即e∈(1√2)，故D正确.故 6.B【解析】易知双曲线的渐近线方程为y=士么x, 选ACD. 不妨设M,V位于一、三象限的渐近线上，且以F,F &AB【解析】对于A.设“黄金椭到的方程为号十关 为直轻的圆的方程为上+y=,联立小=台 =1(a>b>0),椭圆上的点P(x,为)，焦点 a x'+y=c R(一，0，R(c,0),由兰十若=1.可得时 ·34· 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 6(1-)P币=(-c--),P丽=(- 线的离心率为兰=PD团2后一25+ AD 4 -为)，又因为“黄金椭圆“的离心率二-，1，所以 1,故D错误.故选AB. 2 三、填空题 (÷)广=(5)=3≥5e=35d所以丽 9.9【解析】因为2c=8,所以c=4,所以a2=c2-= 2 2 16一12=4，解得a=2,根据双曲线定义可得 ·p丽=+-=+6(1-）-e=禁+ IIMF,|-|MF:I=2a=4,即|5-MF21|=4,解 得|MF2|=1或|MF:|=9,当|MF2|=1时， 。-2=35+6厅-20>0，所以黄金箱圆 MF:|十|MF:|=6<8,不合题意，故舍去：当 上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直，故A正 MF:|=9时，MF|+|MF:|=14>8,满足题意. 确：对于B.因为双曲线号-若=1(a>0,b>0)是 综上，|MF=9. 10.v677 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以塔筒的 “黄金双曲线”，所以e=无-中，即c=5中。 2 2 最细处所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立 则=-=()广-。=中。=，故B 平面直角坐标系， 2 正确：对于C,以BC的中点为原点，建立如图所示的直 角坐标系， 设双曲线的方程为后-若=1(a>0,b>01,由题意 设△ABC的边长为2，以B,C为焦点，且过D,E的 可知双曲线的离心率=√1+（合） =3,所以b= 椭圆方程设为号+活 =1(a>b>0),所以|CDl= 2Ba,所以双曲线的方程为号-总-1，即8r 后.所以柄圆的离心率为器=DCDB BCI y=8a,因为上底直径为6cm,下底直径为8cm, 2=尽-1，放C错误：对于D,以AD的中点为原 高为8cm,所以设双曲线过点(3，m),(4,m一8)， 3+1 1 点，建立如图所示的直角坐标系， I72-m2=8a 2 128-(m-8)=8a,解得 则 ,则塔筒 J574 最细处的直径为2a=证 4 em. 四、解答题 11.解：(1)设双曲线C的方程为mx2+ny=1, 则 16n=1 ,解得 设正六边形ABCDEF的边长为2，以A,D为焦点， m十9n=1 且过B,C,E,F的双曲线方程设为若-芳=】 一6 (a>0,b>0),则|AD|=4,|FD=25,所以双曲 所以双曲线C的方程为片-专-1， (6分) (2)由(1)可知双曲线C的渐近线方程为y=士√5x, ·35· ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 进①，设双曲线E的标准方程为 y a =1(a>0. 即y=2x-1, y=2x-1 b>0), 联立 x-号=1得2x2-红+3=0，() 2 所以 ,解得a=1,b=3, (10分) 则△=（一4）2一4×2×3=-8<0，方程()无解， 2c=4 直线！与双曲线C无交点， c2=a2+ 所以点P不是线段AB的中点。 (15分) 所以双曲线E的实轴长为2. (13分) 3 选②，设双南线E的标准方程为片-若-1(。>0， 13,解：1由题设，易知直线1的方程为y=立r-受， 设A(xy),B(x4y) b>0). x2-y=1 分= 联立 13,得3x十6x-13=0,4>0, y= 所以 2c=4 ,解得a=√3，b=1, (10分) c=a'+b 所以十=-2=- 3 (4分) 所以双曲线E的实轴长为2尽. (13分) 12.解：(1)设M(x6,y),将点M(x,y)代人双曲线 所以1AB=+E1-=√1+（合）厂· 方程，得-兰=1， √-2-4x(-)=4 3 (6分) 所以增=2x一2≥0，所以x≤-1或xu≥1， (2)因为∠MPA=∠MPB, (2分) 所以cos∠MPA=cos∠MPB, 所以1MN1=(x4-3)2十y8=(x。-3)2+2z-2 所以 PM.PA PM.PB =3(x-1)1+4, 1 PMI PA1PM1P面' 当x=1时，|MN|2的最小值为4， (5分) 所以 M.PA_PAL M·PBPB 所以|MN|的最小值为2. (6分) (2)当直线1垂直于x轴时，直线（的方程为x=1, 由∠MPA=∠MPB及角平分线定理得 PA PB 此时直线（与双曲线C只有一个交点，不满足题意： ⊥AM (8分) MBI 当直线1不垂直于x轴时，斜率存在， 所以 PM.PA AM 设A(y),B(为)， PM·PB MB| (10分) - 2 =1 设A(x1y),B(y:),直线l的方程为y=kx一 所以 (k十1)，易知一1<k<1, 1x2-y=1 2 联立 y=kx-(k+1) 两式作差得(-)-（停-艺）=0， 得(1一k2)x2+2k(k+1)x-k°-2k-2=0, 整理得x一x巧=兰一兰 △=8(k+1)>0. 22 所以五+=-2张牛卫=-+2张+2 即(-)（出十）=之（0-)(0十) 1一k 1一k (12分) 若P(1,1)是线段AB的中点， 因为PM=(1-t,1-t),PA=(1-t,y-t十2)， 则x1十x=2,y+y=2, PB=(x4-,y-1+2): 1 则一x=立(1一为)： 所以PM.PA=(1-t)(x十y-21+2) =(1-t)(x十kx1-k-2t+1): 所以直线1的斜率k=二业=2， (12分) x1一工 PM.Pi=(1-t)(x,十-21+2) 所以直线（的方程为y=2(x一1）十1， =(1-t)(x+kx1-k-2t+1), (14分) ·36· 所以5十一-2+1=1-五 y 十x4-k-2+Ix4-1' 整理得(k十1)x1x2一(k十t)(x十x2)十k十2t一1 =0, 将韦达公式代入相学=0， 所以=多， (18分) 所以存在定点P(受-合)，使得∠MPA= M ∠MPB. (20分)U 数学（人較A极}选择性必修第一质第1页共页} ① 衡水会馨·先享量·离二同步因测花八 数学（人较A藏）选择性必修第一后第2页【共4面引 12,(本小题满分15分) 已知双曲线C:2-兰=L (1)若点M在双血线C上，点N(3.0),求MN1的最小值： (2)过点P(1,1)的直线/与双曲线C相交于A,B两点，判恶点P是否为线段AB 的巾点？请说明理由， 数学（人教A极}选择性必修第一质第3页{共面引 衡水金幕·先享题· 13,本小题满分20分) 已知双曲线x一y=1,过点M(1,一1》的直线/与该双由线的左、右两支分则交于 点A,B. 《1D当直线1的斜率为2时，求AB 《2)是否存在定点P(,一2)≠1》，使得∠MPA一∠MP登？若存在，求出点P的 全标：若不存在，请说明理由。 离二同步丽测花八 数学（人较Λ腰}选择性必修第一后第4页【共4面引