第2章 第7节 第3课时 对数函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第三课时　对数函数 第7节　指数函数、对数函数 衔接教材 夯基固本 落实 (0，＋∞) 衔接教材 夯基固本 落实 (1，0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 衔接教材 夯基固本 落实 y＝x 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 ABC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 C 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 A 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 D 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 C 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 A 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 A 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 A 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 C 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 B 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 D 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 B 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 微点突破2　幂、对数的大小比较问题 请完成：课时训练（17） 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．(重点) 2．知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 二、对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 ___________ y＝logax a＞1 0＜a＜1 值域 R 性质 过定点________，即x＝___时，y＝___ 当x>1时，______；当0<x<1时，______ 当x>1时，______；当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________ 三、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线______对称． 1．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2021·新课标Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 追根 溯源 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45 发现 感悟 高考题是对教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后进行比较，而变形的过程中应用了函数的单调性 二、教材典题改编 1．(苏教版必修第一册P149 T11改编)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．[人教A版必修第一册P160T5(2)改编]已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 解析：∵f(x)＝|lg x|＝ ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(2)＝lg 2＝－lg ＝f()，∵0<<<<1， ∴f()>f()>f()＝f(2)，∴c<b<a. 3．(苏教版必修第一册P158T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________. 答案：(，＋∞) 三、易误易混澄清 1．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________. 答案：2或 2．(忽视真数大于零)函数y＝的定义域是________. 答案：(，1] 解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1， ∴<x≤1，∴函数的定义域是(，1]. 考点一　对数函数的图象及应用 [例1] (1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 　　 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 解析：(1)当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B，D错误；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，A正确． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1 对数函数图象的识别及应用方法 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想； (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 训练1 (1)已知f(x)＝a－x，g(x)＝logax，且f(2)·g(2)＞0，则函数f(x)与g(x)的图象是(　　) 解析：因为f(2)·g(2)＞0，所以a＞1，所以f(x)＝a－x与g(x)＝logax在其定义域上分别是减函数与增函数．故选D． (2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案：(1，＋∞) 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1. 考点二　对数函数的性质 考向1　比较对数值的大小 [例2] (1)(2025·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b (2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 解析：(1)a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b. (2)a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 考向2　解对数不等式或方程 [例3] (人教A版必修第一册P141T12改编)若loga4＜1，则a的取值范围为________. 答案：(0，1)∪(4，＋∞) 解析：当a＞1时，由loga4＜1⇒loga4＜logaa⇒a＞4；当0＜a＜1时，由loga4＜1⇒loga4＜logaa⇒a＜4，即0＜a＜1，综上所述，a的取值范围为(0，1)∪(4，＋∞). [变式探究] 若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，) C．(，1) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：由题意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以＜a＜1.故a的取值范围是(，1). 求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 考向3　对数函数性质的综合 [例4] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1，所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. 解决对数函数性质综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数的范围是(0，1)，还是(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 训练2 (1)已知a＝3，b＝log2，c＝log，则(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．c>b>a 解析：因为函数y＝3x为增函数，所以a＝3>30＝1，即a>1；因为y＝log2x为增函数，所以b＝log2<log21＝0，即b<0；因为y＝logx为减函数，所以log1<log<log，即0<c<1，故a>c>b. (2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞).故选D． (3)(多选)若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增 C．f(x)没有最大值 D．f(x)没有最小值 解析：对于A项，f(x＋2)＝lg (|x|＋1)，∵lg (|－x|＋1)＝lg (|x|＋1)，∴f(x＋2)为偶函数，A项正确；对于B项，∵当x≥0时，f(x＋2)＝lg (x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递增；∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度后得到f(x)的图象，∴f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，B项正确；对于C，D项，根据f(x)的单调性，知f(x)min＝f(2)，无最大值，故C项正确，D项错误． 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 类型一　直接利用单调性比较大小 [例1] (1)已知a＝log47，b＝log930，c＝e，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a (2)(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c 解析：(1)由题可得c＝e＝，a＝log47＝log2<log2＝log22＝＝c，b＝log930＝log3>log3＝log33＝c，则a<c<b. (2)log20.2＝log2＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25).因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小． 训练1 (2025·岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 解析：根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1；根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0；根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1，∴b＜c＜a. 类型二　引入中间值比较大小 [例2] (2025·上饶模拟)已知a＝log53，b＝2，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 解析：因为1＝log55＞log53＞log5＝log55＝，所以＜a＜1.因为7－0.5＝()＜()＝，所以0＜c＜.又b＝2＞20＝1，所以b＞a＞c. 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 训练2 已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 解析：因为a＝＝log33，(3)3＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log33>log34，即a>b.又b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 类型三　作差(商)法比较大小 [例3] 若a＝sin 4，b＝log53，c＝lg 6，d＝e0.01，则(　　) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．b＜c＜d＜a D．a＜d＜b＜c 解析：由题意，a＝sin 4＜0，d＝e0.01＞1，0＜b＝log53＜1，0＜c＝lg 6＜1，只需比较b，c的大小，而log53－lg 6＝－lg 6＝＝＝＜0，∴b＜c，综上可得，a＜b＜c＜d. (1)一般情况下，作差或者作商可处理底数不一样的对数比较大小问题． (2)作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法． 训练3 (2025·沈阳月考)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)，又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c.因为c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)，又y>x>0，ex>1，所以c－a>0，得c>a.综上可得，a<c<b. 类型四　构造函数比较大小 [例4] 已知ex－2y>ln y－x＋ln 2，则(　　) A．x>2y B．x<2y C．x>ln (2y) D．x<ln (2y) 解析：由ex－2y>ln y－x＋ln 2，得ex＋x>2y＋ln (2y)，即ex＋x>eln (2y)＋ln (2y).令f(x)＝ex＋x，易知f(x)在R上单调递增，所以x>ln (2y). 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 训练4 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．b<c<a 解析：a＝＝，c＝＝，令f(x)＝(x>0)，∴a＝f()，b＝f(2)，c＝f(e).∵f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝＝c，∴a<c，b<c.又b＝＝＝＝f(4)，且4>，∴f(4)<f()，∴b<a，∴b<a<c. 类型五　利用函数图象比较大小 [例5] 若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(　　) A．3x<4y<5z B．4y<3x<5z C．4y<5z<3x D．5z<4y<3x 解析：令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象，如图所示，由图可知5m＋1<4m＋1<3m＋1，故5z<4y<3x. 涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决． 训练5 已知a，b，c均大于1，满足＝2＋log2a，＝3＋log3b，＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b 解析：由＝2＋log2a，得＝log2a，由＝3＋log3b，得＝log3b，由＝4＋log4c，得＝log4c，所以考虑y＝(x>1)和y＝ logmx(m＝2，3，4)的图象相交时，交点的横坐标的大小．在同一平面直角坐标系中，画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝(x>1)的图象，如图所示，根据图象可知a<b<c. $$