第2章 第7节 第1课时 指数、对数运算（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第一课时　指数、对数运算 第七节　指数函数、对数函数 a |a| 衔接教材 夯基固本 落实 0 没有意义 衔接教材 夯基固本 落实 ar＋s ars arbr 衔接教材 夯基固本 落实 logaN 0 1 N n 衔接教材 夯基固本 落实 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 × × × × 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 C 64 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（15） 温馨提示 谢谢观看！ 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 一、指数 1．根式的性质 (1)()n＝___(a使有意义)； (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝_____＝____________． 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！ 2．分数指数幂的意义 (1)a＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)a＝＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_______(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝_____(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q). 二、对数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝___；②logaa＝___；③a＝____；④logaan＝___．(a>0，且a≠1，n∈R，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝________________； ②loga＝________________； ③logaMn＝_________(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：alog aN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1.＝－4.(　　) 2．分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) 3．log2x2＝2log2x.(　　) 4．若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga(M＋N)＝logaM＋logaN.　(　　) 二、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P110习题4.1T7(1)改编]已知5m＝10，5n＝2，则5＝(　　) A．2 B．3 C．20 D．5 解析：5＝＝＝＝＝5. 2．(人教A版必修第一册P109T1改编)下列运算中正确的是(　　) A．＝2－π B．a＝ C．(mn)8＝ D．(x3－)＝x9 解析：对于A，2－π<0，所以＝π－2，A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，B错误；对于C，(mn)8＝(m)8·(n)8＝，C正确；对于D，(x)＝x9－2＝x7，D错误． 3．(人教A版必修第一册P126T1改编)下列各式中正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 解析：对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4．(人教A版必修第一册P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a 解析：log1210＝＝＝. 三、易误易混澄清 1．[化简(a∈R)时忽略n的范围]计算＋＝________. 答案：2 答案：4 2．(不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论是________.(填序号) 答案：①②③④⑤ 3．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________. 考点一　指数式的化简与求值 [例1] (1)计算：27－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0＝________. (2)已知a2x＝5，则＝________. 16 解析：(1)27－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0 ＝(33)－(－7)2＋(44)－＋1＝－49＋64－＋1＝16. (2)＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 训练1 化简与求值： (1)()－(2)0.5＋(0.027)； (2)÷()(a＞0，b＞0). 解：(1)原式＝()－()0.5＋(0.3)＝－＋0.09＝－0.16. (2)原式＝÷()－＝÷(ab) ＝ab÷(ab)＝ab÷(ab)＝ab＝ab. 考点二　对数式的化简与运算 [例2] (1)(2024·广州统考)计算27×7－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20 B．21 C．9 D．11 (2)(2025·盐城模拟)已知2m＝9n＝6，则＋的值等于(　　) A． B．3 C．1 D．2 (3)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. 解析：(1)原式＝(33)×2－log44－3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21. (2)因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以＝log62，＝log69，因此＋＝log62＋log69＝log6(2×9)＝1. (3)根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 解决对数运算的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 训练2 计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； (2)； (3)log23·log38＋(). 解：(1)方法一　log225·log3(2)·log59 ＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6. 方法二　log225·log3(2)·log59＝·· ＝··＝6. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝·＋3＝3＋3＝3＋2＝5. 考点三　指数、对数运算的应用 [例3] (1)(2025·长春模拟)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的(　　) A．10倍 B．100倍 C．1 000倍 D．10 000倍 (2)(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg .喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB 解析：(1)设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为E1和E2，由lg E＝4.8＋1.5M，于是，则lg ＝lg E1－lg E2＝3，因此＝103＝1 000，所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1 000倍．故选C． (2)设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lg ＝140，解得x1＝102，因为＝＝108，所以x2＝10－6，所以f(10－6)＝10×lg ＝60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB． 指数、对数应用问题的思路 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 训练3 (1)青少年的视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. (2)(2025·兴安盟期中)内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N(单位：mg/L)与时长t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物浓度).如果前2 h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h 解析：由题意知，t＝2时，N0e－2k＝N0，可得e－2k＝.设N0e－kt＝0.512N0＝()3N0，则e－kt＝(e－2k)3＝e－6k，解得t＝6，因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4 h． $$