第2章 第6节 幂函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第6节　幂函数 y＝xα x α 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 {y|y≠0} 奇函数 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 × √ √ 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 BD 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 2 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ABD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（14） 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．运用函数建立模型，解决简单的实际问题． 一、幂函数的定义 一般地，函数_______叫做幂函数，其中___是自变量，___是常数． 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． 二、常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} ___________ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 ___________ 单调性 增函数 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 增函数 增函数 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 巧识幂函数的图象和性质 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1．函数y＝2x是幂函数．(　　) 2．当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(　　) 3．若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点．(　　) 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 2．(多选)(人教A版必修第一册P91习题3.3T1改编)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：当α＝－1时，y＝x－1＝为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件． 3．(人教A版必修第一册P91T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接) 答案：c<b<a 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 三、易误易混澄清 (忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围为________. 答案：(3，5) 解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数， ∴解得3＜a＜5. 考点一　幂函数的图象与性质 [例1] (1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________. 解析：(1)由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m>0，又y＝xm的图象增长得越来越慢，所以m<1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n<0，又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n<－1.综上所述，n<－1，0<m<1. (2)由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 幂函数的图象与性质的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般先将解析式化为根式的形式，再判断其奇偶性； (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 训练1 (1)(2025·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． (2)有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(ⅰ)偶函数；(ⅱ)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(ⅲ)在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________.(填序号) 答案：② 解析：f(x)＝x－1只满足性质(ⅱ)，f(x)＝x3只满足性质(ⅲ)，f(x)＝x只满足性质(ⅲ).f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上单调递增，但是其值域是{y|y＞0}． 考点二　幂函数性质的应用 [例2] (1)若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________. [－1，) 解析：(1)因为y＝x在第一象限内单调递增，所以a＝()＞c＝()，因为y＝()x是减函数，所以c＝()＞b＝()，所以a＞c＞b. (2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<. 比较幂值大小的策略 (1)同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较； (2)同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较； (3)既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来进行比较． 训练2 (1)(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·x在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·x在(0，＋∞)上单调递增，所以解得m＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增． (2)已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是________. 答案：(－∞，1] 解析：设f(x)＝xα，则(－8)α＝－2，解得α＝，所以f(x)＝x，则f(x)在R上是增函数，且为奇函数，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等价于f(a＋1)≤f(3－a)，则a＋1≤3－a，解得a≤1. $$