第2章 第5节 二次函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第5节　二次函数 ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 × × √ × 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 AD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（13） 温馨提示 谢谢观看！ 1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 2．能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题． 一、二次函数解析式的三种形式 一般式：y＝__________________． 顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为y的______． 二、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] (－∞，－] [－，＋∞) (－∞，－] [－，＋∞) a>0 a<0 单调性 在____________上单调递减， 在____________上单调递增 在____________上单调递增， 在____________上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝________ 当x＝－时，ymax＝_________ 二次函数的单调性、最值与二次函数的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]： (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f(－)，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f(－)，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　) 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.　(　　) 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) 4．二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).　(　　) 二、教材典题改编 1．(人教B版必修第一册P98 T5改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________. 答案：(－∞，4] 解析：由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. 3．(北师版必修第一册P34T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则实数m的取值范围是________. 答案：[4，＋∞) 解析：y＝－x2＋4x＋2＝－(x－4)2＋10，对称轴为直线x＝4，且当x＝4时，函数取得最大值10，所以m≥4. 三、易误易混澄清 (忽视对二次项系数的讨论)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(　　) A． B．－3 C．或－3 D．4 解析：由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为或－3. 考点一　二次函数的解析式 [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式． 解：方法一(利用二次函数的一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用二次函数的顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ∵f(2)＝f(－1)，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f(x)＝a(x－)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用二次函数的零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 训练1 已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案：x2＋2x 解析：方法一　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 方法二　由二次函数f(x)与x轴交于(0，0)，(－2，0)，知f(x)的图象关于直线x＝－1对称．设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x. 考点二　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 [例2] (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，则以下选项正确的为(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 解析：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；∵对称轴为直线x＝－＝－1，∴b＝2a，即2a－b＝0，故B错误；由图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；把x＝1，x＝－3代入解析式可得a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，两式相加整理可得5a－b＝－c.又当x＝0时，y＝c＞0，所以5a－b＜0，即5a<b，故D正确． 识别二次函数图象应学会“三看” 训练2 设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 解析：因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0. 考向2　二次函数的单调性与最值 [例3] 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴当x＝－时，f(x)min＝f(－)＝－－3＝－， 当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为[－，15]. (2)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解． 训练3 (1)已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4. (2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1；当0<t<1时，f(x)min＝1；当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2. $$