第2章 第2节 第2课时 函数单调性的应用（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第二课时　函数单调性的应用 第2节　函数的单调性与最值 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（10） 温馨提示 微点突破1　复合函数的单调性 微点突破1　复合函数的单调性 微点突破1　复合函数的单调性 B 微点突破1　复合函数的单调性 微点突破1　复合函数的单调性 B 微点突破1　复合函数的单调性 微点突破1　复合函数的单调性 微点突破1　复合函数的单调性 谢谢观看！ 考点一　求函数的最值或值域 [例1] 求下列函数的最值： (1)f(x)＝，x∈[1，4]； (2)f(x)＝2x2－. 解：(1)(单调性法)∵f(x)＝＝＝2－，x∈[1，4]， ∴f(x)在[1，4]上单调递增， ∴函数的最小值为f(1)＝，最大值为f(4)＝. (2)(换元法)令＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1). ∵y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴为直线t＝， ∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的， ∴ymin＝2×12－1－2＝－1， ∴函数f(x)的最小值为－1，无最大值． 求函数最值(值域)的五种常用方法 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 训练1 函数y＝的值域是________. 答案：[2，＋∞) 解析：y＝＝＝＋. 令t＝(t≥1)，则y＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1，x＝0时，等号成立，因此函数的最小值为2，无最大值，即函数的值域是[2，＋∞). 考点二　比较函数值的大小 [例2] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－)＝f().当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f()>f(e)，即b>a>c. 利用单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小． 训练2 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2). (2)已知函数f(x)＝lg x－()x，f(m)＝1，且0<p<m<n，则(　　) A．f(n)<1且f(p)>1 B．f(n)>1且f(p)>1 C．f(n)>1且f(p)<1 D．f(n)<1且f(p)<1 解析：∵函数y＝lg x，y＝－()x在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n). 考点三　利用单调性解函数不等式 [例3] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________________. 答案：(－，－2)∪(2，) 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1).所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. 解函数不等式的思路 求解函数不等式时，首先结合函数的单调性，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，与此同时还应注意函数的定义域． 训练3 (1)已知函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数，若f(x＋2)≤f(x2)，则x的取值范围是(　　) A．[1－，1＋] B．[1－，－1] C．[－2，1＋] D．[－，－1] 解析：因为函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数且f(x＋2)≤f(x2)，所以1≥x＋2≥x2≥0，所以所以1－≤x≤－1. (2)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________. 答案：(－3，1) 解析：根据所给的分段函数，画出图象如图． 已知函数在整个定义域上是单调递减的， 由f(3－a2)<f(2a)可知，3－a2>2a，解得－3<a<1. 1．复合函数单调性判定原则：同增异减． 2．设复合函数y＝f[g(x)]，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是u＝g(x)的值域． (1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数； (2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数． 类型一　求复合函数的单调区间 [例1] 已知函数f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝f(5－x2)，试求g(x)的单调区间． 解：令u(x)＝5－x2，则u(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，且u(0)＝5. f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的，f(x)的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定g(x)的单调性． 令5－x2＝1，则x＝±2. x (－∞，－2] [－2，0] [0，2] [2，＋∞) u(x)＝5－x2 增 增 减 减 u (－∞，1] [1，5] [1，5] (－∞，1] f(u) 减 增 增 减 f(5－x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2]，单调递增区间是[－2，0]，[2，＋∞). 训练1 设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0<a<1)，则函数y＝g(f(x))的减区间为(　　) A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(1，＋ ∞) D．(1，4) 解析：依题意，g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，则－x2＋2x＋8>0，解得－2<x<4，即函数y＝g(f(x))的定义域为(－2，4)，显然函数f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，而g(x)＝logax(0<a<1)在(0，＋ ∞)上单调递减，因此函数y＝g(f(x))在(－2，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以函数y＝g(f(x))的减区间为(－2，1).故选B． 类型二　由复合函数的单调性求参数问题 [例2] (2025·南通模拟)已知函数f(x)＝ln(ax＋2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．a＜0 B．－1≤a＜0 C．－1＜a＜0 D．a≥－1 解析：令t＝ax＋2，则y＝ln t，因为函数f(x)＝ln(ax＋2)在区间(1，2)上单调递减，且y＝ln t在定义域内单调递增，所以，解得－1≤a＜0，故选B． 训练2 已知函数f(x)是R上的减函数，若f(ax2－2x)在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 答案：(－∞，0] 解析：由题意知函数y＝ax2－2x在(1，＋∞)上单调递减，故或a＝0，解得a≤0. $$