第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第6节　一元二次不等式恒(能)成立问题 B C D D D D 请完成：课时训练（7） 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　在R上的恒成立问题 [例1] (2024·济南模拟)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 解析：当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 训练1 (1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　) A．{k|k<} B．{k|k<－} C．{k|－<k<} D．{k|k>－} 解析：由题意得Δ＝(－k)2－4×2×<0，整理可得k2－3<0，解得－<k<. (2)(2025·常州模拟)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________. 答案：[2，10) 解析：因为x2＋x＋2＝(x＋)2＋>0，所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立．当k＝2时，2>0，显然成立；当k≠2时，k满足不等式组解得2<k<10.综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 考点二　在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 答案：(－∞，) 解析：要使f(x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是(－∞，). 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的两种解法 (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题． (2)结合图象进行分类讨论，转化为根的分布问题． 训练2 (1)若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1，4]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a>－}　B．{a|－≤a≤0}　C．{a|a>0}　D．{a|a≤－} 解析：x2＋ax－1≤0，x∈[1，4]，则a≤－x＋，y1＝－x和y2＝在[1，4]上单调递减，故f(x)＝－x＋在[1，4]上单调递减，f(x)min＝f(4)＝－4＋＝－，即a≤－. (2)(2025·荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，] B．(－∞，3] C．(，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：方法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3.当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，所以m>()max，因为x∈[1，3]，当x＝1时，x2－x＋1有最小值1，此时有最大值3，所以m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 方法二　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立．当m＝0时，－3>0，不符合题意；当m≠0时，设g(x)＝mx2－mx＋m－3，因为g(x)图象的对称轴方程为x＝，所以只需或即或解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 考点三　给定参数范围的恒成立问题 [例3] (2025·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式x2＋px>4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0，0≤p≤4，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4，可得∴x<－1或x>3. 含参不等式恒成立问题的思路 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数； (2)对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题． 训练3 已知a∈[－1，2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为____________. 答案：(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：设f(a)＝(x－2)·a＋x2－4x＋4，则即解得x<0或x>3. 考点四　不等式能成立或有解问题 [例4] (2025·武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围为________. 答案：(2，＋∞) 解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1，因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可，设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 不等式能成立问题的策略 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值问题： (1)若a＞f(x)能成立，则a＞f(x)min. (2)若a≤f(x)能成立，则a≤f(x)max. 训练4 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[，＋∞) D．(－∞，] 解析：因为关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，所以a≤x＋在x∈[1，2]上有解，即a≤(x＋)max，x∈[1，2]，因为函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝，故a≤. $$