第1章 第4节 第2课时 基本不等式的综合应用（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第二课时　基本不等式的综合应用 第4节　基本不等式 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 5 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（5） 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [例1] 若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B．[－，＋∞) C．[，＋∞) D．[，＋∞) 解析：依题意得，当x＞0时，2a＋1≥＝恒成立，又因为x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得a≥－，所以实数a的取值范围为[－，＋∞).故选B． [变式探究] 本例变为若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是________. 答案：(－1，2) 解析：因为x>0，所以＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以()max＝2，所以m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，得－1<m<2，所以实数m的取值范围是(－1，2). 利用基本不等式解决恒成立问题的解题策略 含参的不等式恒(能)成立问题，若能分离参数，则分离后利用最值转化法求解： (1)若a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若a<f(x)恒成立，则a<f(x)min. (2)若a>f(x)有解，则a>f(x)min；若a<f(x)有解，则a<f(x)max. 训练1 (1)已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(8，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，8) D．(－∞，4) 解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．又x＋2y>m恒成立，所以m<8，即实数m的取值范围是(－∞，8). (2)(2025·绍兴质检)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，4) B．(－4，1) C．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选C． 考点二　基本不等式的实际应用 [例2] 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速(m/s).当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　) A．135 B．149 C．165 D．195 解析：由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时等号成立，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． 训练2 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月的土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月的库存货物费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成正比．若在距离车站10 km处建立仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为4万元和16万元，则要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为________km. 解析：根据题意，设y1＝(x>0，k1>0)，y2＝k2x(x>0，k2>0)，则解得所以y1＝(x>0)，y2＝(x>0)，所以y1＋y2＝＋≥2＝16，当且仅当＝，即x＝5时，等号成立，故要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为5 km. 考点三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 [例3] 若“∃x∈[，2]，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 解析：由题意，得“∀x∈[，2]，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题，故当x∈[，2]时，3x＋≥λ恒成立， 由基本不等式，得3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝∈[，2]时，等号成立，故λ≤2. 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、向量、复数、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题． 训练3 (1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故选C． (2)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　) A．　　　　B．　　　　C．8　　　　D．24 解析：因为a∥b，所以3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)(＋)＝(12＋＋)≥(12＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. $$