第1章 第3节 不等式及其性质（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第3节　不等式及其性质 衔接教材 夯基固本 落实 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 √ × × × 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 A C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 BD 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 不等式中新定义问题 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（3） 温馨提示 谢谢观看！ 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．(重点) 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 二、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔______；a<b⇔______ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒______；a<b，b<c⇒______ 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________ c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒____________ 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒________ 同向同正 可乘方性 a>b>0⇒an>bn，n∈N，n≥2 同正 可开方性 a>b>0⇒>，n∈N，n≥2 同正 (1)注意不等式成立的条件． (2)注意不等式性质的单向与双向性，即是否具有可逆性． 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0，0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：<，>(b－m>0)； ②假分数的性质：>，<(b－m>0). 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) 2．若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) 3．若＞1，则a＞b.(　　) 4．a＝b⇔ac＝bc.(　　) 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P42例2改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．－＞0 B．－＜0 C．＞ D．＜ 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 解析：对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(人教A版必修第一册P43习题2.2T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________. 答案：< 解析：－＝＝， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴<0，∴<. 三、易误易混澄清 1．(忽视不等式成立的条件)已知a，b，c，d为实数，若a>b且c>d，则下列结论中正确的是(　　) A．a2>b2 B．ac2>bc2 C．a＋c>b＋d D．ac>bd 解析：当a，b为负数时，A选项显然不成立；当c＝0时，B选项显然不成立；根据不等式的同向可加性可知C选项成立；当a，b，c，d为负数时，D选项显然不成立． 2．(误用同向可减性、区间端点开闭出错)若实数x，y满足－1<x<2，－2≤y≤1，则y－x的取值范围是__________. 答案：(－4，2) 解析：因为－1<x<2，所以－2<－x<1，又因为－2≤y≤1，所以－2＋(－2)<y－x<1＋1，即－4<y－x<2. 考点一　比较两数(式)的大小 [例1] (1)(2025·石嘴山模拟)设M＝ab－b2，N＝a2－ab，则M，N的大小关系是________. (2)若a＝，b＝，则a______b(填“＞”或“＜”). 答案：(1)N≥M　(2)＜ 解析：(1)因为M＝ab－b2，N＝a2－ab，所以N－M＝(a2－ab)－(ab－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以N≥M. (2)方法一(作差法)　a－b＝－＝＝<0，所以a<b. 方法二(作商法)　易知a，b都是正数，＝＝＝＝log89>1，所以b>a. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． 训练1 若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解析：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·(－)＝＝.∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B． 考点二　利用不等式的性质比较大小 [例2] (1)(2025·济南模拟)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 B．|a|>|b| C．< D．ln (a－b)>0 (2)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　　) A．< B．＋>0 C．a2>b2 D．a<|b| 解析：(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，<也不成立，故B，C错误；取a＝，b＝－，则ln (a－b)＝ln 1＝0，故D错误． (2)因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0，>0，<0，故A错误；<0，<0，则＋<0，故B错误；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，故C正确；由a>－b>0得a>|b|，故D错误． 利用不等式的性质判断不等式的方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 训练2 (1)(多选)已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是(　　) A．b＞a＞0 B．a＞b＞0 C．b＜0＜a D．b＜a＜0 解析：对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确．故选BD． (2)(2025·合肥模拟)已知a>b>c>d>0，且a＋d＝b＋c，则下列不等式中不成立的是(　　) A．a＋c>b＋d B．ac>bd C．ad<bc D．> 解析：∵a>b>c>d>0，∴a＋c>b＋d，ac>bd，故A，B中不等式成立；∵a>b>c>d>0，∴a－d>b－c>0，∴(a－d)2>(b－c)2，即(a＋d)2－4ad>(b＋c)2－4bc，又a＋d＝b＋c，∴ad<bc，故C中不等式成立；∵a>b>c>d>0，ad<bc，∴<，故D中不等式不成立． 考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [例3] (人教A版必修第一册P43T5改编)已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是_______________，ab的取值范围是________. 答案：(0，13)　(－3，15) 解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15. [变式探究] 若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是________. 答案：(，) 解析：设a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则a＋2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，即解得即a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，由1＜a＋b＜3，则＜(a＋b)＜，由0＜a－b＜2，则－2＜－(a－b)＜0，－1＜－(a－b)＜0，故＜(a＋b)－(a－b)＜. 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质，特别关注性质的条件． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 训练3 设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是________. 答案：32 解析：＝()3，∵3≤≤4，∴27≤()3≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质得9≤()3≤32，则的最大值为32，当且仅当即时，等号成立． [例] 设实数a，b，m∈R，若满足(a－m)2<(b－m)2，则称a比b更接近m. (1)设2x比x＋1更接近0，求x的取值范围； (2)判断“<－1”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由． 解：(1)由题意，得(2x－0)2<(x＋1－0)2，即4x2<x2＋2x＋1， 整理得3x2－2x－1<0，解得－<x<1， 所以x的取值范围是(－，1). (2)“x比y更接近m”等价于(x－m)2<(y－m)2⇔(x－m＋y－m)(x－m－y＋m)<0⇔<0， 所以“<－1”是“x比y更接近m”的充分不必要条件． 不等式新定义问题的求解策略 (1)新定义问题顾名思义就是给定一个新的概念，根据 这种新定义解决相关的问题； (2)根据题意套用新定义，转化到所学的不等式的知识进行解决． 训练 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若>，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点”． (1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，判断是否一定存在点P，满足既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”，若存在，写出一个点P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)(答案不唯一)因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义： 若>，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点”， 所以点(3，5)的一个“上位点”坐标是(3，4)，一个“下位点”坐标是(3，6). (2)因为点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，所以一定存在点P(a＋c，b＋d)满足既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”． 证明如下： 因为点(a，b)是点(c，d)的“上位点”， 所以>，即ad>bc，所以－＝＝>0， 即>，所以点P(a＋c，b＋d)是点(c，d)的“上位点”， 又－＝＝<0， 即<，所以点P(a＋c，b＋d)是点(a，b)的“下位点”， 综上，点P(a＋c，b＋d)满足既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”． $$