专题08 函数的单调性（讲义） -2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的单调性.本专题涵盖函数的单调性定义、函数的单调区间、判定函数单调性的常用方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题8 函数的单调性（讲义） 知识点：函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数. ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2.函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.判定函数单调性的常用方法 ①定义法：第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． ②图像法：从图像特征判定函数的增减性． 1.（2022年黑龙江省职教高考）在区间（－∞,0）上为增函数的是（ ） A. y =－2x B. y = C. y = D. y =－x2 2.（2023年黑龙江省职教高考）已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3．（2024年黑龙江省职教高考）下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 4.（黑龙江省职教高考模拟题）下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5.（黑龙江省职教高考模拟题）定义在R上的偶函数f(x),在上是增函数,则（ ） A. B. C. D. 1.如果奇函数f(x)在区间上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间上是（ ） A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 2. 已知函数y=f(x)在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 3.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D．和 5.下列函数中，既是偶函数又是在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 6.函数在区间（ ）内为减函数. A. B. C. D. 7．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 8．下列各函数中，在区间内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 9．下列函数中，在[0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－3x＋1 B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝ 10.下列属于增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数y=f(x)在区间（-2,3）上为增函数，则函数y=f(x+5)的递增区间为（ ） A.（3,8） B.（-7,-2） C.（-2,3） D.（0,5） 12.下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（ ） A.y=-x-1 B.y= C.y= D.y=sinx 13．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 14.函数f(x)=5-2x,若，比较与的大小. 15.证明：函数在上为减函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的单调性.本专题涵盖函数的单调性定义、函数的单调区间、判定函数单调性的常用方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题8 函数的单调性（讲义） 知识点：函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数. ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2.函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.判定函数单调性的常用方法 ①定义法：第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． ②图像法：从图像特征判定函数的增减性． 1.（2022年黑龙江省职教高考）在区间（－∞,0）上为增函数的是（ ） A. y =－2x B. y = C. y = D. y =－x2 【答案】D​ 【分析】考察函数在特定区间内的单调性判断. 【解析】 A选项y=-2x：斜率k=-2，在(-∞,0)上单调递减（错误）； B选项y= ：在(-∞,0)上单调递减（错误）； C选项y=|x|：在(-∞,0)上y=-x，单调递减（错误）； D选项y=-x²：在(-∞,0)上单调递增（正确）. 2.（2023年黑龙江省职教高考）已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D​​ 【分析】考察利用单调性比较函数值大小. 【解析】∵ f(x)在[0,+∞)上单调递增 且π≈3.14 > 3 > 2 ∴ f(π) > f(3) > f(2). 3．（2024年黑龙江省职教高考）下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】考察基本函数的单调性判断. 【解析】A选项y=3x-6：单调递增； B选项：单调递增； C选项=：单调递减； D选项y=x³：单调递增. 4.（黑龙江省职教高考模拟题）下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C​ 【分析】考察函数的奇偶性与单调性综合判断. 【解析】A选项 ：定义域为是非奇非偶函数； B选项：非奇非偶； C选项y=x³：奇函数且在R上单调递增； D选项y=log₂x：非奇非偶. 5.（黑龙江省职教高考模拟题）定义在R上的偶函数f(x),在上是增函数,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D ​​ 【分析】考察偶函数单调性的应用. 【解析】∵ f(x)是偶函数且在(0,+∞)上增函数 ∴ f(-4)=f(4), f(-π)=f(π) 又4 > π > 3 ∴ f(4) > f(π) > f(3) 即f(-4) > f(-π) > f(3). 1.如果奇函数f(x)在区间上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间上是（ ） A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 【答案】A 【分析】考察奇函数单调性的对称性. 【解析】奇函数在对称区间单调性相同， 最大值5对应最小值-5， ∴ 在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5. 2. 已知函数y=f(x)在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B​​ 【分析】考察利用单调性比较函数值. 【解析】∵ f(x)在(-∞,0)上减函数 且-2 < - ≈ -1.732 < -1 ∴ f(-2) > f(-) > f(-1). 3.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考察利用单调性求参数取值范围. 【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C. 4．函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】考察反比例函数的单调性. 【解析】根据题意，函数的定义域为，由反比例函数的单调性可知，函数在区间和上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数的单调递减区间为和.故选：D. 5.下列函数中，既是偶函数又是在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A​ 【分析】考察函数的单调性判断. 【解析】A选项：偶函数且在(0,+∞)上增函数； B选项：奇函数； C选项：偶函数但在(0,+∞)上减函数； D选项：偶函数但在(0,+∞)上减函数. 6.函数在区间（ ）内为减函数. A. B. C. D. 【答案】A​ 【分析】考察二次函数的单调性. 【解析】a=-1<0且对称轴x=0， 当x>0时，函数单调递减. 7．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C​ 【分析】考察基本函数的单调性判断. 【解析】A选项：对数函数，底数2>1，增函数； B选项：二次函数，对称轴x=1.5，在(1.5,+∞)增函数； C选项：指数函数，底数∈(0,1)，减函数； D选项：一次函数，斜率3>0，增函数. 8．下列各函数中，在区间内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】考察基本函数的单调性判断. 【解析】A选项：幂函数，增函数； B选项：对数函数，底数2>1，增函数； C选项：指数函数，底数2>1，增函数； D选项：指数函数，底数∈(0,1)，减函数. 9．下列函数中，在[0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－3x＋1 B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝ 【答案】D 【分析】考察基本函数的单调性判断. 【解析】A选项：一次函数，斜率-3<0，减函数； B选项：反比例函数，减函数； C选项：二次函数，开口向下，减函数； D选项：幂函数，在R上增函数. 10.下列属于增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D​ 【分析】考察基本函数的单调性判断.​ 【解析】A选项：反比例函数，减函数； B选项：对数函数，底数∈(0,1)，减函数； C选项：指数函数，底数∈(0,1)，减函数； D选项：幂函数，在[0,+∞)上增函数. 11. 函数y=f(x)在区间（-2,3）上为增函数，则函数y=f(x+5)的递增区间为（ ） A.（3,8） B.（-7,-2） C.（-2,3） D.（0,5） 【答案】B​​ 【解析】函数向左平移5个单位， 原递增区间(-2,3)变为(-7,-2). 12.下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（ ） A.y=-x-1 B.y= C.y= D.y=sinx 【答案】D 【分析】考察基本函数的单调性判断. 【解析】A选项：一次函数，斜率-1<0，减函数； B选项：二次函数，对称轴x=1，在(0,1)减函数； C选项：指数函数，底数0.3∈(0,1)，减函数； D选项：正弦函数，在(0,)增函数. 13．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项中函数的单调性判断即可． 【解析】对于A，函数在定义域上为减函数，故A错误； 对于B，函数在，上单调递减，故在定义域内不为增函数，故B错误； 对于C，由指数函数的单调性可知，函数在定义域上单调递增，故C正确， 对于D，函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为，故在区间单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 14.函数f(x)=5-2x,若，比较与的大小. 【答案】f(x₁) > f(x₂) 【分析】考察利用单调性比较函数值大小. 【解析】∵ f(x)=5-2x是减函数， 当x₂> x₁时，f(x₂) < f(x₁). 15.证明：函数在上为减函数. 【分析】利用函数单调性定义证明. 【答案】 证明： 任取x₁,x₂∈(-∞,0)，且x₁<x₂<0 f(x₁)-f(x₂)=1/x₁ -1/x₂=(x₂-x₁)/(x₁x₂) ∵ x₁<x₂<0 ∴ x₂-x₁>0且x₁x₂>0 ∴ f(x₁)-f(x₂)>0 ⇒ f(x₁)>f(x₂) 故f(x)在(-∞,0)上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$