专题1.3 全等三角形的判定（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.3 全等三角形的判定 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共47题） 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式训练】（22-23八年级上·浙江温州·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为，请在甲，乙两个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）． (1)请在图甲中作与全等的格点． (2)请在图乙中作与不全等但面积相等的格点． 考点2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【变式训练】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 考点3：全等的性质和ssS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【变式训练】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：_______． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，经过几秒后能够使与全等？ 考点5：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【变式训练】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【变式训练】（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 考点7：用ASA (AAS) 证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【综合实践】 素材  两个边长不等的正方形卡纸 把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点A、B、E在同一条直线上，），点H是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则________； (2)试根据题意判断与是否全等？并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合 【典例精讲】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，是内部一点，，过点的直线分别交， 于点， ． 若， 求的周长． 【变式训练】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 考点9：用HL证全等(HL) 【典例精讲】（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 2．（2025·新疆·中考真题）（1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 5．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 6．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点，，，在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 培优拔高 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足分别为，与相交于点，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④图中有四对三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 13．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为 个单位长度． 16．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论：①；②；③；④，其中错误的是 ．（只填序号） 17．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    18．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 20．（18-19七年级下·江苏南通·期末）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： (1)①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． (2)如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． (3)如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 全等三角形的判定 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共47题） 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【规范解答】解：在和中， ， ． 故选：D． 【变式训练】（22-23八年级上·浙江温州·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为，请在甲，乙两个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）． (1)请在图甲中作与全等的格点． (2)请在图乙中作与不全等但面积相等的格点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】（）根据网格和全等三角形的判定作出图形即可； （）根据三角形的面积同底等高找到点即可求作； 本题考查了全等三角形的判定，三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 考点2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【规范解答】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 【变式训练】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 考点3：全等的性质和ssS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【规范解答】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据时间和速度表示的长； （）根据“”证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，，得，，解出即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 则， 故答案为：； （2）解：与全等，理由是： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 【变式训练】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：_______． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，经过几秒后能够使与全等？ 【答案】(1)厘米 (2)和全等，理由见解析 (3)厘米/秒 【思路引导】（）先表示出，根据，可得出答案； （）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，再根据即可判定两个三角形全等； （）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间，求得点运动的时间，进而即可求得点的运动速度； 本题考查了全等三角形的判定和性质，列代数式，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，厘米， ∴厘米， 故答案为：厘米； （2）解：和全等，理由如下： ∵秒，点、的运动速度相等， ∴厘米， ∴厘米， ∵厘米，点为的中点， ∴厘米， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点运动的时间秒， ∴厘米/秒 ， ∴当点的运动速度为厘米/秒时，能够使与全等. 考点5：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【规范解答】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 【变式训练】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【规范解答】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析, ； (2)见解析； (3)33． 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作图，再根据全等三角形的判定定理分析即可； （2）利用“”证明全等即可； （3）由（2）可知，得到，，根据的周长得到，即可求出的周长． 【规范解答】（1）解：如图，点为所求作，作图依据是； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ； （3）解：由（2）可知， ，， 的周长为15， ， ， 的周长． 考点7：用ASA (AAS) 证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【综合实践】 素材  两个边长不等的正方形卡纸 把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点A、B、E在同一条直线上，），点H是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则________； (2)试根据题意判断与是否全等？并说明理由． 【答案】(1)10 (2)全等；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个小正方形的面积求出图2中正方形的面积即可； （2）根据证明即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． （2）解：；理由如下： 根据拼接可知：图2为正方形， ∴，， ∵正方形和正方形中， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的综合问题． （1）利用证明，由三角形全等的性质可得出； （2）先利用证明，再利用证明，最后再利用证明和即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上：在不添加任何辅助点的情况下，全等三角形的有，，，． 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合 【典例精讲】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，是内部一点，，过点的直线分别交， 于点， ． 若， 求的周长． 【答案】的周长为． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由三角形内角和定理和平角定义得，证明，由性质可得，，最后代入即可求解． 【规范解答】解：∵， ， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【变式训练】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【规范解答】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故③错误， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，平行线的判定与性质．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 考点9：用HL证全等(HL) 【典例精讲】（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)， 【思路引导】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【规范解答】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8/8或4 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8． 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）证明： ，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．通过证明出，得到，再证明，即可得出结论． 【规范解答】证明：，， ． 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ． 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【思路引导】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【规范解答】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 2．（2025·新疆·中考真题）（1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 【答案】 （1） （2）证明过程见详解 【思路引导】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）根据题意证明，即可求解． 【规范解答】解：（1）； 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）证明：∵， ∴， ∴． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【思路引导】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【规范解答】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 5．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【思路引导】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【规范解答】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 基础夯实 1．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【规范解答】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 【规范解答】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【规范解答】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【规范解答】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：D． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【答案】①② 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【规范解答】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以， 故答案为：①②． 6．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【思路引导】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 【规范解答】解：∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【规范解答】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/40度 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角的和等知识，设交于点G，由得，证明，再利用外角的性质求解即可． 【规范解答】解：设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点，，，在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）先由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）先根据全等三角形对应角相等得，再由三角形外角求出的度数，再即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)，全等三角形的对应边相等 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【规范解答】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形木架的周长为， 故答案为：，全等三角形的对应边相等． 培优拔高 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足分别为，与相交于点，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④图中有四对三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 首先根据三角形的内角和定理可证出，可判断①；再利用定理证明，可判断②；进而可证明，可判断③；，，可判断④． 【规范解答】解：， ， ， ，故①正确； 在和中， ，故②正确； ． 在和中， ，故③正确； ，， ． 在和中， ， 在和中， ， ，故④正确． ∴结论正确的有①②③④关，共4个． 故选：D． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【规范解答】解：∵在和中 ， ∴，则▲代表  ，故选项A错误； ∴（全等三角形的对应角相等），则■代表，★代表对应角，故选项B错误；故选项C错误； ∴， ∴，则※代表，故选项D正确； 故选：D． 13．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【规范解答】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【规范解答】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 15．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于，点在右侧个单位长度处，点是下方轴上一动点，连接，过点作，若，点在左侧轴上个单位长度处，连接，的最小值为 个单位长度． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过点作轴于点，根据证明，从而得到，推出点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质，得出点的运动轨迹是解题的关键. 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， 由题意可得: ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在平行于轴且与轴距离为的直线上运动，当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论：①；②；③；④，其中错误的是 ．（只填序号） 【答案】④ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 利用证明，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，无条件能证明是等边三角形，即不能证明，故④错误， ∴①、②、③正确，④错误． 故答案为：④． 17．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【思路引导】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【规范解答】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 【答案】 或或；（答案不唯一） 或或（答案不唯一）． 【思路引导】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由根据平行线的性质得，由得，根据，，添加相应的条件即可； （2）先证明，再由平行线的性质得，然后证明，即可得出结论． 【规范解答】解： ， ， 即， ， ， ∴添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 故答案为：或或； （2）方法一：添加的条件是时， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法二：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法三：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 【答案】怀仁塔底座的直径为． 【思路引导】本题考查全等三角形的应用，平行线的性质，选择方案：根据平行线的性质，得 ，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键． 【规范解答】解：选择方案：∵， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为； 选择方案：在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为． 20．（18-19七年级下·江苏南通·期末）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： (1)①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． (2)如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． (3)如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 【答案】(1)①三角形的中线 ②是 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是解题的关键． （1）①由平面图形的二分线定义可求解； ②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线； （2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线； （3）证明，可得，由是四边形的一条二分线，可得，则，即可得出，从而求解． 【规范解答】（1）解：①三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 三角形的中线是三角形的二分线， 故答案为：三角形的中线 ②是边上的中线 ， ， ， ， 是的一条二分线 故答案为：是 （2）解：∵的中点F， ∴， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的二分线． （3）解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵是四边形的一条二分线， ∴， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$