1.3—1.4 一元二次方程的根与系数关系与解决问题 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

1.3—1.4 一元二次方程的根与系数关系与解决问题 一、一元二次方程根与系数关系 （1）一元二次方程的根与系数的关系的推论 推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1*x2=q； 推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-（x1+x2）+x1*x2=0. （2）根与系数的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系。 2.设：设元，即设未知数。 3.列：列方程，这是关键步骤。先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义。 6.答：写出答语。 巩固课内例1:求方程两根的和与两根的积 1．已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用根与系数的关系，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根与系数的关系得，， 所以 故答案为： 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——图形面积问题 1．如图所示的是一块长方形花园，其宽（短边）为，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相等，使得扩建后的花园是正方形．若扩大后的花园面积比原来增加了，设长方形的长边为，则可列方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设原来花圃长为，根据“扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加”列出一元二次方程即可，解题的关键是弄清题意，找到等量关系． 【详解】解：设长方形的长边为， ∵扩大后的花园面积比原来增加了， ∴， 故选：A 2．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 3．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 设切去的正方形边长为，根据“无盖方盒的底面积为，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设切去的正方形边长为． ． ， ，．（舍去） 切去的正方形边长为． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——增长率问题 1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 2．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 3．随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日己接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人， 由题意，得， 解得， 答：6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是万人． 巩固课内例4:一元二次方程的应用——销售问题 1．某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设票价每张x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设票价每张x元，由题意可得， 故选：B． 2．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 3．银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据“尽可能让顾客得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价m元， 由题意得， 整理得， 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌头盔每个应涨价5元． 巩固课内例5:一元二次方程的应用——收费问题 1．以下是某风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元． 从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ） A．38 B．40 C．42 D．44 【答案】B 【分析】设去旅游的人数为x，依题意x知x，故可列出方程（80-30-x）x=2800，再解出未知数即可. 【详解】∵3080=24002800，所以人数超过30人， 设去旅游的人数为x，可列出方程（80+30-x）x=2800， 解得x=40或x=70（舍去）， 故去旅行的人数为40人，选B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用. 2．某旅行社有张床位，每床每晚收费元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过元的情况下，若每床的收费提高元，则减少张床位租出，若收费再提高元，则再减少张床位租出，以每次提高元的这种方式变化下去，为了获得元的收入，每床的收费每晚应提高 元 【答案】4 【分析】根据题意表示出每张床的租金与出租的床位数，两者的乘积就是所获得利润． 【详解】解：假设每床的收费每晚应提高x元， 由题意得：， 解得：x1＝4，x2＝6（不合题意，舍去）， 即每床的收费每晚应提高4元， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 3．平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先判断该公司参加旅游的员工人数大于30人．设该公司参加旅游的员工人数为人，根据支付给旅行社4800元列方程求解，然后舍去不符合题意的根即可． 【详解】解：当人数为30人时，总费用为（元）． ， 该公司参加旅游的员工人数大于30人． 设该公司参加旅游的员工人数为人． 根据题意，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 答：该公司参加旅游的员工人数为40人． 巩固课内例6:一元二次方程的应用——方向问题 1．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 2．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： ．（结果化为一般式） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∵甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 故答案为：． 3．是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 巩固课内例7:一元二次方程的应用——动点求t问题 1．如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 设出点，运动秒，能使四边形的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒后，能使四边形的面积为， 则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得， ， 化简得， 解得，； 当时，，不合题意，舍去． 即． 动点，运动3秒时，能使四边形的面积为． 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可． 【详解】解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 类型一、求方程两根之和 1．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 2．方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．若一元二次方程的两个解为，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， 故答案为：3． 3．判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【详解】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 类型二、求方程两根之积 1．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；先由根的判别式求出c的值，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 即方程为； 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选：C． 2．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 类型三、数字问题 1．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设十位数字为a，则个位数字，根据个位数字的平方等于该数，建立方程并求解，验证符合条件的解． 【详解】解：设十位数字为a，则个位数字．两位数的值为，根据题意，得： 解得：，． 当时，个位数字为，两位数为25， 当时，个位数字为，两位数为36． 综上，这个两位数是25或36， 故选：D． 2．周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意可得： ， 故答案为：． 3．一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 【答案】98 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，再根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为．依题意，得， 解得（不合题意，舍去），， ． 答：这个两位数为98． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 类型一、已知一根求参 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根．计算判别式并解方程即可求出参数的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得． 故选：C． 2．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由可得或，然后分和，两种情况分别根据方程的解以及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 当时，将代入方程可得：，解得：， 此时方程为：，即， ∴，即方程有两个不等的实数根， ∴符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 综上，k的值为或． 类型二、根与系数变形求值 1．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 2．设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴. 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 类型三、传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染后，患病人数为人， 第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：， 根据题意，有：， 解得：或（舍去）， 因此，每轮传染中平均一个人传染了人． 故选：B． 2．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 3．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 类型四、握手、循环问题 1．某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查单循环比赛场次的计算，根据题意建立方程求解班级数，即可解答． 【详解】解：设该校八年级共有个班级．单循环赛制下，每两个班级比赛一场，总场次为组合数．根据题意，总场次为21场，列方程： 两边同乘2，整理得： 解此二次方程，判别式，根为： 取正根得． 验证：当时，总场次为，符合条件． 因此，该校八年级共有7个班级． 故选B． 2．一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 【答案】8 【分析】一元二次方程循环赛问题，根据总赛场56场列等量关系，设方程解答即可 【详解】解：设共有支队伍参加比赛 解得：（舍去） ∴共有8支队伍参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场 3．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 类型一、解分式方程(化为一元二次方程) 1．关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 2．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 类型二、新定义问题 1．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 2．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 类型三、勾股圆方圆注 1．我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（    ） A．2，8 B．3，8 C．2，9 D．3，9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 2．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 3．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴． 故答案为：1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3—1.4 一元二次方程的根与系数关系与解决问题 一、一元二次方程根与系数关系 （1）一元二次方程的根与系数的关系的推论 推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1*x2=q； 推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-（x1+x2）+x1*x2=0. （2）根与系数的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系。 2.设：设元，即设未知数。 3.列：列方程，这是关键步骤。先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，得到含有未知数的等式，即方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义。 6.答：写出答语。 巩固课内例1:求方程两根的和与两根的积 1．已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 3．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——图形面积问题 1．如图所示的是一块长方形花园，其宽（短边）为，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相等，使得扩建后的花园是正方形．若扩大后的花园面积比原来增加了，设长方形的长边为，则可列方程为 （ ） A． B． C． D． 2．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 3．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——增长率问题 1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 3．随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日己接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 巩固课内例4:一元二次方程的应用——销售问题 1．某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 3．银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 巩固课内例5:一元二次方程的应用——收费问题 1．以下是某风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元． 从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（ ） A．38 B．40 C．42 D．44 2．某旅行社有张床位，每床每晚收费元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过元的情况下，若每床的收费提高元，则减少张床位租出，若收费再提高元，则再减少张床位租出，以每次提高元的这种方式变化下去，为了获得元的收入，每床的收费每晚应提高 元 3．平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 巩固课内例6:一元二次方程的应用——方向问题 1．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 2．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： ．（结果化为一般式） 3．是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 巩固课内例7:一元二次方程的应用——动点求t问题 1．如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 类型一、求方程两根之和 1．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 2．方程的两根为，，则的值为 ． 3．判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、求方程两根之积 1．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 2．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 类型三、数字问题 1．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 2．周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 3．一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 类型一、已知一根求参 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 2．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 类型二、根与系数变形求值 1．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 2．设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 类型三、传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 2．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 3．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 类型四、握手、循环问题 1．某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 3．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 类型一、解分式方程(化为一元二次方程) 1．关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 3．解方程：． 类型二、新定义问题 1．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 3．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 类型三、勾股圆方圆注 1．我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（    ） A．2，8 B．3，8 C．2，9 D．3，9 2．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 3．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$