专题4.2 对数及对数函数（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第四章指数函数与对数函数的第2个专题：对数及对数函数.本专题涵盖对数及其运算、对数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4.2 对数及对数函数（讲义） 知识点1 对数及其运算 1.对数的概念 如果，那么称为以为底的对数. 记作： 2.指数式与对数式的关系 . 3.对数的性质 （1） （2） （3） （4） 注意：0与负数没有对数. 4.对数的运算性质 （1） （2） （3） 5.换底公式 （1） （2）； （3） 1．（2025重庆·职教高考）设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025吉林·职教高考）（    ） A． B． C． D． 3．（2024河北·高职单招）已知函数，则 ． 4．（2025全国·高职单招）计算： . 5．（2023宁夏·职教高考）若，则 ． 1．若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．10 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A．2 B． C．1 D． 4．的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．等于（   ） A． B． C． D．1 7．下列式子中，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如果，则（    ） A． B． C． D． 9．把下列各式中的对数式写成指数式，指数式写成对数式. (1)； (2)； (3)； (4). 10．用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．已知，求． 12． ． 13． ． 14．若，则为 . 15．若，则的值是 . 知识点2 对数函数 1.指数函数的定义 形如的函数叫做对数函数. 2.指数函数的图像和性质 函数 对数函数 图像 性质 定义域： 值域： 定点： 大“1”增，小“1”减 在上单调递减 在上单调递增 当时, 当时, 当时, 当时, 1.（2023湖南对口升学）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（2021湖南对口升学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.（2020湖南对口升学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.（2023湖南对口升学）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 5.（2022湖南对口升学）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 6.（2025湖南对口升学）函数与的图像 A. 关于x 轴对称 B.关于y轴对称 C. 关于原点对称 D.关于直线称 1．下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 7．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．函数的定义域是 ． 10．函数（且）的图像恒过定点 ． 11．方程的解 . 12．设函数，则 ． 13．已知函数. (1)试判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围. 14．解不等式： 15．已知函数 且， (1)求的定义域； (2)若，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第四章指数函数与对数函数的第2个专题：对数及对数函数.本专题涵盖对数及其运算、对数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4.2 对数及对数函数（讲义） 知识点1 对数及其运算 1.对数的概念 如果，那么称为以为底的对数. 记作： 2.指数式与对数式的关系 . 3.对数的性质 （1） （2） （3） （4） 注意：0与负数没有对数. 4.对数的运算性质 （1） （2） （3） 5.换底公式 （1） （2）； （3） 1．（2025重庆·职教高考）设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（2025吉林·职教高考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质化简求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 3．（2024河北·高职单招）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】令，可得的值. 【详解】∵函数， ∴令，可得 . 故答案为：2. 4．（2025全国·高职单招）计算： . 【答案】 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 5．（2023宁夏·职教高考）若，则 ． 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化求解. 【详解】因为， 所以. 则. 故答案为：. 1．若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．10 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解. 【详解】∵函数为奇函数， ∴， 化简得： 解得. 故选：C. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】已知， 即 . 故选：A. 3．（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数的运算化简求值即可； 【详解】． 故选：B 4．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 5．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的转化，及换底公式，化简即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 故选：A. 6．等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据对数的换底公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：D. 7．下列式子中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则，计算可得结果. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A 8．如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据换底公式得，再由指数函数单调性即可比较大小. 【详解】已知， 则，即， 因为在上为增函数， 若有，则， 即，即， 故选：B. 9．把下列各式中的对数式写成指数式，指数式写成对数式. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1). (2). (3). (4). 【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解. 【详解】（1）转化为对数式为：. （2）转化为对数式为：. （3）转化为指数式为：. （4）转化为指数式为: . 10．用，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的运算法则进行变形即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 11．已知，求． 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算公式即可得解. 【详解】，， 则. 12． ． 【答案】4 【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得解. 【详解】原式. 故答案为：4. 13． ． 【答案】7 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 14．若，则为 . 【答案】 【分析】根据换底公式和对数的运算法则计算即可. 【详解】已知， 则， 即，所以， 所以. 故答案为：. 15．若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据对数的运算以及指数的运算求解. 【详解】由得，则，所以. 故答案为：. 知识点2 对数函数 1.指数函数的定义 形如的函数叫做对数函数. 2.指数函数的图像和性质 函数 对数函数 图像 性质 定义域： 值域： 定点： 大“1”增，小“1”减 在上单调递减 在上单调递增 当时, 当时, 当时, 当时, 1.（2023湖南对口升学）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C. 2.（2021湖南对口升学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意可得，， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 3.（2020湖南对口升学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据对数函数定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以即. 所以函数的定义域为. 故选：D. 4.（2023湖南对口升学）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数， 理由：因为的定义域为， 的定义域为， 所以的定义域为， 即的定义域关于原点对称， 又， ， 所以函数为奇函数. （2）由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 5.（2022湖南对口升学）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【详解】（1）由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. （2）若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 6.（2025湖南对口升学）函数与的图像 A. 关于x 轴对称 B.关于y轴对称 C. 关于原点对称 D.关于直线称 【答案】A​ 【分析】用对数函数的性质、图像结合判断图像对称性 【详解】，所以图像关于x轴对称 1．下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、对数函数以及三角函数的性质求解即可. 【详解】函数在上单调递减，不符合题意； 函数的图像的对称轴为，且开口向上，其在上单调递增，符合题意； ∵，∴函数在上单调递减，不符合题意； 函数的定义域为，增区间为，，不符合题意. 故选：B. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意对数函数及指数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，，则函数在定义域内为增函数， ∴， 函数，，则函数在定义域内为增函数， ； 函数，，则函数在定义域内为增函数， . 则， 故选：. 3．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，若底数或则不符合对数函数的定义，故A选项错误； 对于B选项，中未含有未知数，不符合对数函数的定义，故B选项错误； 对于C选项，自变量是，不是x本身，这是一个对数函数与二次函数的复合函数，故C选项错误； 对于D选项，底数为，未知数为x，符合对数函数的定义，故D选项正确. 故选：D. 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为零及真数大于零即可得解. 【详解】函数有意义，则且， 即函数的定义域为， 故选：. 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数及指数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】∵，函数在定义域上为增函数，∴，即， ∵，函数在定义域上为增函数，∴，即， ∵，函数在定义域上为减函数，∴．即， ∴． 故选：. 6．已知函数，若，则（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 所以． 故选：B. 7．函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数 恒过定点求解. 【详解】∵，则， 令，， ∴函数的图像过定点． 故选：C. 8．已知函数，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论或的情况，结合解含绝对值的不等式及对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，若， 当时，则，解得（舍）或； 当时，则， 因为，所以函数在上为增函数，则， 则x的取值范围是， 故选：. 9．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零及真数大于零，列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：. 10．函数（且）的图像恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质来确定函数的定点. 【详解】令，得， 的图像过定点． 故答案为：. 11．方程的解 . 【答案】4 【分析】根据对数的运算法则解简单的对数方程即可. 【详解】由， 得，所以. 故答案为：4. 12．设函数，则 ． 【答案】2 【分析】将代入分段函数解析式中即可得解. 【详解】函数， 则， 故答案为：. 13．已知函数. (1)试判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)奇函数. (2). 【分析】（）求出函数的定义域，判断与的关系即可得解. （）根据对数函数的单调性，列出不等式即可得解. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得或. 所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. （2）函数，底数，所以该函数在定义域内为增函数， 因为，所以， 则， 解得，所以的取值范围为. 14．解不等式： 【答案】 【分析】根据对数函数单调性得到关于的一元二次不等式，再根据一元二次不等式解法求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以由可得：， 由可得：，解得或， 由可得：，即， 解得， 综上，或， 不等式解集为. 15．已知函数 且， (1)求的定义域； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据0和负数无对数列不等式求解即可. （2）将代入解析式中，列方程求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 必须，解得， 所以函数的定义域为. （2）已知函数， 由得， 则，即 ，解得， 由于，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$