4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时） 复习回顾 1.等差数列的前n项和公式: “知三求二” an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 新课讲授 问题7 已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r为常数，且p≠0.任取若干组p,q,r,在电子表格中计算a1,a2,a3,a4,a5的值(图已给出p=1,q=2,r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. 图中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值. 多给p,q,r取几组值，看看有什么规律？ 新课讲授 证明： 结论：若数列{an}的前n项和是一个不含有常数项的二次函数，则该数列是等差数列. 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 学以致用 教材P24 [例2] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 例题再现 思考 对于上节课的这道例题中的等差数列，还有其他解法求Sn吗？ 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 学以致用 利用性质4还可以怎样解？ 典例分析 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析1：由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an<0,Sn递减.这样把求Sn的最大值转化为求{an}的所有的正数项的和。 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 典例分析 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解法2：(二次函数法) 新课探究 问题1 在例9中，当d=ￚ3.5时，Sn有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题. d= ￚ 3.5时，Sn有最大值 追问1 d=2时，Sn有最大值吗？ 有最小值吗？ d=2时，Sn没有最大值， 有最小值S1 追问2 是不是所有的等差数列前n项和的都有最大值或最小值？ 如果有的话，与什么有关？ 如何从函数的角度去分析？ 学以致用 教材P24 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 新课探究 问题2 总结一下等差数列前n项和最值的两种求法吗？ 方法一：通项公式法 ①当a1>0，d<0时， 数列前面有若干项为正, 此时所有非负项的和为Sn的最大值. ②当a1<0，d>0时， 数列前面有若干项为负, 此时所有非正项的和为Sn的最小值. 新课探究 方法二：二次函数法 当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n(n∈N*)时的函数值. 常数列 前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点. 因此，我们可以利用二次函数研究d≠0 时的等差数列前n项和最值。 新课探究 ①当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. 方法二：二次函数法 ②当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 Sn n O 1 由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值. 新课探究 等差数列的前n项和Sn的最值 有最小值S1 有最大值S1 有最大值 有最小值 能力提升 1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. ∴当n=7时，Sn取最大值49. 2. 若等差数列{an}的通项公式为an= -2n+11,求数列{|an|}的前n项和Tn. 综上， （1）确定 的通项公式； （2）求解时， 的取值范围； （3）去掉数列中各项的绝对值，转化为的前 项和求解； （4）将的前 项和写成分段函数的形式. 方法总结 已知等差数列，求的前 项和的步骤 能力提升 课堂小结 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 1. 通项法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项． 大 小