22.1 二次函数的图象和性质 暑假衔接练习-2025-2026学年九年级上册数学人教版

22.1 二次函数的图象和性质 暑假衔接练习 一、选择题 1．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（　　） A．4 B． C． D． 2．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A． B． C．2 D．4 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 6．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 7．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为　 　 ． 8．已知抛物线 过 和 两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　． 9．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”） 10．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　． 三、解答题 11．已知抛物线 的图像经过点 和 .求这个二次函数的关系式. 12．已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 13．在直角坐标系中，设函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数）． （1）求函数图象的对称轴； （2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点； （3）已知当x＝0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q＜p+r，求证：m＜0． 14．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2-4x+c的顶点在x轴上， ∴抛物线y=-x2-4x+c与x轴只有唯一的一个交点， ∴△=b2-4ac=（-4）2-4×（-1）c=0， ∴c=-4． 故答案为：B． 【分析】二次函数y=ax2+bx+c的顶点点在x轴，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点，可得△=b2-4ac=0，据此建立方程求解即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故答案为：D。 【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 二次函数的图象经过点， 即时，， ，故①正确； ， 点，关于直线对称， ，故②正确； 二次函数的图象过点和， ， 解得， ， 当时，抛物线开口向上，当时，为最小值， 若为任意实数，则； 当时，抛物线开口向下，当时，为最大值， 若为任意实数，则； 故③错误； 由得， ， 又，， 得，， 则△， 关于的方程必有两个不相等的实数根， 故④正确． 故选：B． 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 【分析】 抛物线与x轴无交点，则关于x的一元二次方程无实数根，即． 7．【答案】 【解析】【解答】将抛物线向右平移个单位后的解析式为，再将向上平移个单位后的解析式为， 故答案为：. 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 8．【答案】x=2 【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点， ∴对称轴为x= =2， 【分析】根据题意求出对称轴为x= =2，即可作答。 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的， ∴函数图象的开口向上， ∴a＞0， 故答案为：＞． 【分析】先求出函数图象的开口向上，再求解即可。 10．【答案】＜t＜1 11．【答案】解：把 和 代入抛物线 得 ， 解得 ， . 故解析式为 . 【解析】【分析】用待定系数法求二次函数解析式。 12．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点， ∴，解得：， ∴；​​​ （2）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴或； （3）解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵对于，，总有， ∴， ∴．​​​​​ 【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式； （2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性，进行求解即可． （1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点， ∴，解得：， ∴； （2）把代入，得：， ∴， ∴， ∴或； （3）∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵对于，，总有， ∴， ∴． 13．【答案】（1）解：∵函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数）， ∴函数图象的对称轴为x＝-1； （2）证明：令y＝0，则0＝m（x+1）2+4n， 即， ∵m，n异号， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点； （3）证明：由题可知p＝m+4n，q＝16m+4n，r＝25m+4n， ∵2q-（p+r）＝2（16m+4n）-（m+4n+25m+4n）＝6m＜0， ∴m＜0． 【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求出抛物线的对称轴； （2）令y=0，转化为求一元二次方程根的情况，结合题意即可求解； （3）分别代入求出p、q、r的值，根据不等式，化简即可求解. 14．【答案】（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中， 得到 ，解得 ， ∴ ，， ∴顶点坐标 （2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0， 解得x=-1或x=2， ∴ 当 时，。 【解析】【分析】（1）题将A、B两点代入二次函数中，利用待定系数法列出二元一次方程组，求出b、c之后即可得出二次函数的表达式，然后利用顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）题先求出y=3是对应的x的两个值，因为是 ，因此取x的两个值的中间部分即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$