数轴的双动点、折线模型 知识点训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

数轴的双动点、折线模型—北师大版数学七（上）知识点训练 一、填空题 1．如图，已知线段AB=40cm，动点P从点A出发以每秒3cm的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，有一个点到达终点时另一点也随之停止运动.当时，则运动时间t=　 　s. 2． 如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，点以个单位秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动当点到达点时，点表示的数是　 　 ． 3．如图，点和点在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点表示的数是6，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点和点之间的距离，且.动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动；当动点到达点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离. （1）当点在点的右侧且时，　 　. （2）当点在点的左侧且时，　 　. 二、解答题 4．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示﹣12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，问： （1）动点Q从点C运动至点A需要　 　秒； （2）P、Q两点相遇时，求出t的值及相遇点M所对应的数是多少？ （3）求当t为何值时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍（即P点运动的路程＝Q点运动的路程）． 5．如下图，数轴上，点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到 C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到 B速度变为“水平路线”速度的2倍. 设运动的时间为t秒，问： （1）动点Q从点C运动到点B需要的时间为　 　秒； （2）动点P从点A 运动至 D点需要的时间为多少秒? （3）当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数. 6．如图，数轴的原点为，点、、是数轴上的三点，点对应的数是，，，动点、同时分别从、出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动设运动时间为秒． （1）点表示的数为　 　，点表示的数为　 　； （2）求为何值时，点与点能够重合？ （3）是否存在某一时刻，使、、这三点互不重合，且、、三点中某一点到另外两点的距离相等？若存在，请直接写出满足条件的值若不存在，请说明理由． 7．如图，在一条数轴上从左至右取，，三点，使得，到原点的距离相等，且到的距离为4个单位长度， 到的距离为8个单位长度． （1）在数轴上点表示的数是　 　，点表示的数是　 　，点表示的数是　 　． （2）在数轴上，甲从点出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点出发也向右做匀速运动． ①若甲恰好在点追上乙，求乙的运动速度． ②若丙从点出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲､乙､丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度． 8．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒； （2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a和c满足|a+2|+（c﹣2）2＝0． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点． 试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 10．【建立模型】 数轴上两点，所表示的数分别为，，． （1）若，两点到原点的距离相等，，请画出数轴，并标出，两点的位置； （2）请写出与之间的数量关系，当时，求的值； （3）【拓展延伸】 如图，数轴上两点，所表示的数分别为，4，点，是数轴上两动点，点从点出发以每秒1个单位的速度向运动，同时点从点出发以每秒2个单位的速度向运动，当时，求此时点对应的数． 11．如图，图一已知数轴上点表示的数为-6，点表示的数为8，动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AB方向向右运动，运动时间为秒. （1）线段　 　，当点运动到线段AB的延长线时　 　.(用含的代数式表示) （2）如图二，当时，点是AP的中点，点是BP的中点，求此时MN的长. （3）当点P从出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，存在这样的值，使三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请求出满足条件的值. 12．已知：，c比b大2． （1）　 　，　 　，　 　． （2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当_▲_时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 13．如图1，已知数轴上的点对应的数是，点对应的数是，且满足． （1）求数轴上到点、点距离相等的点对应的数 （2）动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 （3）如图2在数轴上的点和点处各竖立一个挡板点在原点左侧，点在原点右侧，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以个单位秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等．试探究点对应的数与点对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 14．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A点，再从A点向右移动12个单位到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点． （1）点C表示的数是　 　； （2）若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）； ②当t=2秒时，求CB-AC的值； ③试探索：CB-AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 答案解析部分 1．【答案】5或11 2．【答案】1 3．【答案】（1） （2） 4．【答案】（1）26 （2）解：由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上M处，设OM＝x． 则12÷2+x÷1＝（20﹣12）÷1+（12﹣x）÷2， 解得x＝， 12÷2+÷1＝6+＝． 答：t的值是，相遇点M所对应的数是． （3）解：A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍有2种可能： ①动点Q在OB上，动点P在OB上， 则：12+（t-）＝ [20﹣12+2（t﹣ ）]， 解得：t＝． ②动点Q在OA上，动点P在BC上， 则：12+12+2（t--12）＝ [20+（t﹣8﹣ ）]， 解得：t＝26． 综上所述：当t为或26时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的倍． 5．【答案】（1）2.5 （2）解：根据题意知： AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 (秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上， 显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2<t≤3，即P在AB上，Q在CB上时， P表示的数是-7+2r，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得 t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时， P表示的数是 Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得或 ∴P表示的数是 或 ④当4.5<t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时， P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得 t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是 或 6．【答案】（1）； （2）解：t秒后点点P所表示的数为-5+3t，点Q所表示的数为3+t， ∵点P与点Q重合 即-5+3t=3+t， 解得． 答：当时，点P与点Q能够重合； （3）解：或或 7．【答案】（1）；2；10 （2）①∵A表示的数为-2，C表示的数为10， ∴AC=12 ∴甲从A运动到所用的时间为：（秒）， ∴乙的速度为：（个单位长度/秒）． ②甲与丙相遇的时间为：（秒）， 因为甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度， 所以此时乙与丙的运动时间为：（秒）． 设乙的运动速度为个单位长度/秒． 当乙与丙未相遇时，由题意得， 解得； 当乙与丙相遇后，由题意得， 解得． 综上，乙的运动速度为或个单位长度/秒． 8．【答案】（1）解：由题意知：点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示的数为18， ∴， ∵动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动， 当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速； ∴动点P从点A运动至点C需要的时间是， ∵动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速， ∴动点Q从点C运动至点A需要的时间是：， 故答案为：19，23； （2）解：根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到上时表示的数是，Q点运动到OB上时表示的数是， 由题意可得：， 解得：， ∴M点表示的数是； ​​​​​答：P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数为. （3）解：存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”， 理由如下： ∵点A表示，点B表示10， ∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是10-（-10）=10+10=， ①当时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ②当时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得（舍）； ③时，点P、Q都在上，此时， ∴此情况不符合题意； ④时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为（舍）； ⑤时，P点在上，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ⑥时，P点在C的右侧，Q点在上， 此时P点表示的数是，Q点表示的数是， ∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为， 由题意可得，， 解得； ⑦时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，，不符合题意； 综上可得：存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，t的值为或． 9．【答案】（1）-2；1；2 （2）解：①t秒后，点A表示的数为﹣2+3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为2+t． ∴AB＝|1+t﹣（﹣2+3t）|＝|3﹣2t|，BC＝|2+t﹣（1+t）|＝1． ∵AB＝2BC， ∴|3﹣2t|＝2×1＝2， 解得 或 ∴经过 或 秒，AB的长度是BC长度的两倍． ②当点B为点A和点C的中点时， 得：，解得：t＝1； 当点A为点B和点C的中点时， 得：，解得：； 当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧）， 得：，解得： ； 综上，当t为t＝1秒或或 秒时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点． 10．【答案】（1）解：∵，，两点到原点的距离相等，， 数轴上表示如下所示： （2）解：∵数轴上两点，所表示的数分别为，，， ∴. 当时， ∴， 解得：或 （3）解： 设运动时间为t， 由题意得：点对应的数：，点对应的数：， ∵， ∴， 解得：或 t＝4时，， 时， ∴点对应的数或－2. 11．【答案】（1）14；3t-14 （2）当时，，所以. 因为点M是AP的中点，点是BP的中点， 所以. 所以. （3）由题意可知，AP=3t，BQ=t，点P表示的数为3t-6，点Q表示的数为t+8，点B表示的数为8，分以下三种情况： 若B为中点，则BP=BQ，如图2，所以8-(3t-6)=(t+8)-8.解得t=3.5. 若P为中点，则BP=PQ，如图3，所以(3t-6)-8=(t+8)-(3t-6)，解得t=5.6. 若Q为中点，则BQ=PQ，如图4，所以（t+8)-8=（3t-6）-(t+8)，解得t=14. 综上所述，当t为3.5或5.6或14时，B，P，Q三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点。 12．【答案】（1）-2；4；6 （2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：，点P到点B的距离是：， 由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得： ， 当时，， 解得：，不符合题意舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上分析可知，点P表示的数为2或10． ②当动点M向右运动时，即， 动点M从点A出发以4个单位速度向右运动， 点M对应实数为， 动点N从点B出发以1个单位速度向右运动， 点N对应实数为， 对应实数为6， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当动点M向左运动时，即， 动点M从D出发以4个单位速度向左运动， 点M对应实数为， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， 解得：或； 综上分析可知，或或时，M、N两点到点C的距离相等． 故答案为：或或． 13．【答案】（1）解：， ， 则， ， ， 解得：， 点对应的数为； （2）解：对应的数为， ， ， ， 当时，； 当时，； （3）解：设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑： 甲、乙均反弹之后在中点相遇， 则、的中点对应的数为， ， ， ∴ ∴； 甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得， ∴ 综上，与的关系式为或． 14．【答案】（1）-1 （2）解：①−1＋t； ②当t＝2时，CB−AC＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）＝6＋3t−6−3t＝0； ③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，∵CB−AC＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）＝6＋3t−6−3t＝0，∴CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0． 学科网（北京）股份有限公司 $$