精品解析：山西省忻州市静乐县部分学校2024-2025学年下学期5月月考七年级数学试卷

2024—2025学年七年级第二学期阶段三质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 2. 到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且位于第二象限的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征，根据第二象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】解：到x轴的距离为2，即纵坐标绝对值为2，故． 到y轴的距离为3，即横坐标绝对值为3，故． ∵第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正． ∴，， ∴点的坐标是． 故选：C． 3. 已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则常数m的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．熟练掌握二元一次方程的解的性质，是解题的关键． 将方程的解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解， ∴． 解得． 故选：B． 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法特别是代入消元法的应用．解题的关键是代入消元法的正确应用，以及代数运算中的符号处理．利用代入消元法解方程组，将第二个方程中的y代入第一个方程，解出x后再求y． 【详解】解： 将代入，得： 展开并整理： 解得： 将代入， 解得： 因此，方程组的解为： 故选：A． 5. 下列计等正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，绝对值意义，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．根据平方根、立方根、绝对值的定义及运算逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. ，算术平方根非负，是平方根，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故，故C正确； D. ，故，故D错误． 故选：C． 6. 如图，已知直线，．若使，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题关键． 由，及平行线性质可求出度数，然后根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 当时， 则， ∴． 故选：C． 7. 已知点，点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行于轴的直线上的点的坐标特征以及解一元一次方程，理解并掌握平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题关键．根据平行于轴的直线上的点的坐标特征“横坐标相等”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点，点，且直线轴， ∴可有， 解得． 故选：D． 8. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形．若，且点E是的中点，则平移的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了平移的性质，掌握连接对应点的线段相等是解题关键．由平移的性质结合线段中点的意义可知，，即可求解． 【详解】解：∵，且点E是的中点， ∴， ∵将三角形沿方向平移得到三角形， ∴平移的距离为， 故选：B． 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司购进进价为20万元/辆的A型新能源汽车和进价为30万元/辆的B型新能源汽车若干辆，总计消费190万元，且购进的B型新能源汽车比A型新能源汽车多3辆．若设购进A型新能源汽车x辆，购进B型新能源汽车y辆，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意，建立方程组需满足总费用为190万元且B型车比A型车多3辆． 【详解】解：设购进A型新能源汽车x辆，购进B型新能源汽车y辆， 由总费用为190万元，可得方程为：， 由B型车比A型车多3辆，可得方程为：， 即， 故选：A． 10. 一副三角板如图摆放，，，，．若点E恰好在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．由平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的运算解答即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，能熟记方程组的解的意义是解此题的关键， 把x、y的值代入方程组，再求出a、b的值，最后求出答案即可． 【详解】解：是二元一次方程组的解， 解得： ． 故答案为：． 13. 将点按某种平移方式平移之后得到点，则将点按同样的平移方式平移之后的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质和应用，先找出平移的方式，然后根据平移的性质解答即可． 【详解】解：点按某种平移方式平移之后得到点， 平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点按同样的平移方式平移之后的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：今有甲乙两人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？意思是现有甲乙两人，都不知道有多少钱，若乙把他一半的钱给甲，则甲有钱；而甲把他的钱给乙，则乙有50钱，问甲、乙各有多少钱？如果设甲原来有x钱，乙原来有y钱，则可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若乙把他一半的钱给甲，则甲有钱”，“甲把他的钱给乙，则乙有钱” 即得出关于的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：由乙把他一半的钱给甲，则甲有钱，得 ， 由甲把他的钱给乙，则乙有钱，得 ， 可列方程组为． 故答案为：． 15. 图1是候车厅的一种座椅，图2是其几何示意图，底座支架与恰好互相垂直，为提升坐姿的舒适性，设计者会将底座绕连接点A在水平方向上微微上翘，此时靠背与底座的夹角为．若测得靠背与支架的夹角为，则支架与水平地面的夹角的度数是______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．过点作，根据题意得出，再根据平行得出，结合垂线利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算． （1）根据实数的运算法则进行计算即可 （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式． （2） ，得，解得． 把代入①，得， ， 所以这个方程组的解为． 17. 近年来我国国防力量在多个方面实现重大突破，综合实力显著提升，国产飞机模型很受国人喜爱．某商店计划购进两款飞机模型：A款是歼隐身战斗机，B款是运大型运输机．每个A款模型的进价比每个B款模型的进价多5元，购进3个A款模型和4个B款模型的金额一样．求每个A款模型和B款模型的进价分别是多少． 【答案】每个A款模型和B款模型的进价分别是20元和15元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设每个A款模型和B款模型的进价分别是x元和y元．根据“每个A款模型的进价比每个B款模型的进价多5元，购进3个A款模型和4个B款模型的金额一样”列方程组求解即可． 【详解】解：设每个A款模型和B款模型的进价分别是x元和y元． 根据题意列方程组，得， 解得 答：每个A款模型和B款模型的进价分别是20元和15元． 18. 小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． （1）请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． （2）用“整体代入法”解方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据小明的解题思路计算求解即可； （2）由①得，．③，再把②变形得到．④，把③代入④求出y的值，再把y的值代入③求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解； 由①得，．③ 把③代入②，得．解得． 把代入③，得． ∴这个方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由①得，．③ ②变形可得，．④ 把③代入④，得．解得． 把代入③，得，解得． ∴这个方程组的解为． 19. 如图，已知于点D，于点F，．求证：．请完成下面的证明． 证明：∵，（______）．（______）． 于点D，于点F， ______．______． （______）．______（两直线平行，同位角相等）．（______）． 【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等； ，，同旁内角互补，两直线平行；，等量代换 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 于点D，于点F， ． ． （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． 故答案为：同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等； ，，同旁内角互补，两直线平行；，等量代换． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点位于第二象限，到轴和轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点的坐标为，点的坐标为，依次连接，，，得到三角形． （1）A点的坐标为______，三角形ABC的面积为______． （2）若将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，在平面直角坐标系中画出平移后的图形，并分别写出点的对应点和点的对应点的坐标． （3）在（2）所作的图形中，连接与交于点．若，，求的度数． 【答案】（1）， （2） 如答图1，即为所作的平移后的图形， ，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点所在的象限及点到坐标轴的距离可得点的坐标，用三角形所在的长方形减去周围三个三角形的面积可得三角形的面积； （2）根据平移的性质可得三角形，根据平面直角坐标系及点、所在的位置可得点、的坐标； （3）根据平移的性质及平行线的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，点位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 又∵点到轴和轴的距离分别为个单位长度和个单位长度， ∴点的坐标为， ∵， ∴三角形的面积为， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如答图2， ∵将三角形平移后得到三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，根据网络求三角形的面积．掌握平移的性质及平行线的性质是解题的关键． 21. 阅读与思考 形如与的两个关于的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组，叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． （1）直接写出方程的“共轭二元一次方程”，并求出它们组成的“共轭方程组”的解． （2）若关于的二元一次方程组，为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【小问1详解】 解：由题可知的“共轭二元一次方程”为． 列“共轭方程组”得 解得； 【小问2详解】 解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， ． 此“共轭方程组”的共轭系数为． 22. 学校计划在期末考试结束之后，对成绩优秀的学生进行表彰，要购买A，B两种规格的笔记本作为奖品．先在京东某网店分别购买了A种笔记本40个和B种笔记本100个，共花费1100元；后来，学校要扩大授奖学生人数，于是在同一网店按原来的单价又购买了A种笔记本30个和B种笔记本50个，第二次共花费650元． （1）求A，B两种笔记本的单价． （2）后来发现，某实体店在搞促销活动，相同质量的A，B两种笔记本的标价分别为14元和8元，促销方式是不管购买哪种规格的笔记本，当数量超过50个时，其中50个笔记本按5折销售，其余笔记本按标价出售，限购一次．请你通过计算说明，若一次性购买所有奖品，哪种方式较划算？ 【答案】（1）A，B两种笔记本的单价分别为10元和7元． （2）在实体店购买所有奖品较划算． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A，B两种笔记本的单价分别为元和元，根据购买了A种笔记本40个和B种笔记本100个，共花费1100元；购买了A种笔记本30个和B种笔记本50个，第二次共花费650元建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求分别求出在实体店购买A种笔记本和在实体店购买B种笔记本，进而求出在实体店的总费用，再与网店的费用比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设A，B两种笔记本的单价分别为元和元． 根据题意得 解得 答：A，B两种笔记本的单价分别为10元和7元． 【小问2详解】 解：根据题意得，该校购买A种笔记本个，购买B种笔记本个． 在实体店购买A种笔记本花费为（元）． 在实体店购买B种笔记本花费为（元）． 在实体店花费为（元）． 在某网店花费为（元）． ， ∴在实体店购买所有奖品较划算． 23. 综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断．，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，AD平分，，求的度数． 【答案】 （1）， 证明：， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （同角的补角相等）； （2）， 证明：如答图1，过点作交于点． ． ， ． ． ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确作出辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，再由，即得结论； （2）过点作交于点，根据平行线的性质可得，，即可得到； （3）过点作交于点，按照（2）中的解题思路，根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如答图2，过点作交于点． ， ． ． ． 由（1）知，． ∵AD平分， ． 由可知，． ， ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年七年级第二学期阶段三质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 2. 到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且位于第二象限的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则常数m的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计等正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，．若使，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 8. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形．若，且点E是的中点，则平移的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司购进进价为20万元/辆的A型新能源汽车和进价为30万元/辆的B型新能源汽车若干辆，总计消费190万元，且购进的B型新能源汽车比A型新能源汽车多3辆．若设购进A型新能源汽车x辆，购进B型新能源汽车y辆，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 一副三角板如图摆放，，，，．若点E恰好在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的值为______． 13. 将点按某种平移方式平移之后得到点，则将点按同样的平移方式平移之后的对应点的坐标为______． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：今有甲乙两人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？意思是现有甲乙两人，都不知道有多少钱，若乙把他一半的钱给甲，则甲有钱；而甲把他的钱给乙，则乙有50钱，问甲、乙各有多少钱？如果设甲原来有x钱，乙原来有y钱，则可列方程组为________． 15. 图1是候车厅的一种座椅，图2是其几何示意图，底座支架与恰好互相垂直，为提升坐姿的舒适性，设计者会将底座绕连接点A在水平方向上微微上翘，此时靠背与底座的夹角为．若测得靠背与支架的夹角为，则支架与水平地面的夹角的度数是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组： 17. 近年来我国国防力量在多个方面实现重大突破，综合实力显著提升，国产飞机模型很受国人喜爱．某商店计划购进两款飞机模型：A款是歼隐身战斗机，B款是运大型运输机．每个A款模型的进价比每个B款模型的进价多5元，购进3个A款模型和4个B款模型的金额一样．求每个A款模型和B款模型的进价分别是多少． 18. 小明在解方程组时发现，可将①变形为，然后把②中的换成5，这样便可轻松地得到这个方程组的解，这种方法叫“整体代入法”，是初中阶段常用的一种数学方法． （1）请按照小明的解题思路，求出这个方程组的解． （2）用“整体代入法”解方程组 19. 如图，已知于点D，于点F，．求证：．请完成下面的证明． 证明：∵，（______）．（______）． 于点D，于点F， ______．______． （______）．______（两直线平行，同位角相等）．（______）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点位于第二象限，到轴和轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点的坐标为，点的坐标为，依次连接，，，得到三角形． （1）A点的坐标为______，三角形ABC的面积为______． （2）若将三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，在平面直角坐标系中画出平移后的图形，并分别写出点的对应点和点的对应点的坐标． （3）在（2）所作的图形中，连接与交于点．若，，求的度数． 21. 阅读与思考 形如与的两个关于的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组，叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． （1）直接写出方程的“共轭二元一次方程”，并求出它们组成的“共轭方程组”的解． （2）若关于的二元一次方程组，为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 22. 学校计划在期末考试结束之后，对成绩优秀的学生进行表彰，要购买A，B两种规格的笔记本作为奖品．先在京东某网店分别购买了A种笔记本40个和B种笔记本100个，共花费1100元；后来，学校要扩大授奖学生人数，于是在同一网店按原来的单价又购买了A种笔记本30个和B种笔记本50个，第二次共花费650元． （1）求A，B两种笔记本的单价． （2）后来发现，某实体店在搞促销活动，相同质量的A，B两种笔记本的标价分别为14元和8元，促销方式是不管购买哪种规格的笔记本，当数量超过50个时，其中50个笔记本按5折销售，其余笔记本按标价出售，限购一次．请你通过计算说明，若一次性购买所有奖品，哪种方式较划算？ 23. 综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断．，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，AD平分，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $