暑假专项提升：多边形的内角和（讲义）-2024-2025学年四年级下册数学苏教版

暑假专项提升：多边形的内角和 讲义 思维导图 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.所有多边形的内角和计算公式： （1）多边形内角和 = （）× 180° （2）关键理解：这里的“边数”指的是这个多边形有多少条边（也就是有几个角）。常用n表示边数，公式写作（ ）× 180°。 （3）记忆口诀：边数减二乘一百八。 2.推导思路（理解最重要）：所有多边形都可以分割成若干个三角形。 （1）从多边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点画对角线。 （2）这些对角线把多边形分割成了多个三角形。 （3）分割出的三角形个数 = 边数 - 2（例如：四边形分成2个，五边形分成3个，六边形分成4个）。 （4）因为一个三角形的内角和是180°。 （5）所以，整个多边形的内角和 = （分割出的三角形个数）× 180° = （ ）× 180°。 3.特例：四边形 （1）边数 n = 4。 （2）内角和 = （ ）× 180° = 2 × 180° = 360°。 （3）重要结论：任意一个四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则的四边形等）的内角和都是360°。 二、复习要点与技巧 1.牢记基础：必须熟练记住三角形内角和等于180°，这是多边形内角和的基础。 2.理解公式含义：重点理解为什么是（）。建议画一些简单图形（如四边形、五边形）验证一下分割出的三角形个数。理解了这个思路，公式就不容易忘记。 3.记住关键特例：务必记住四边形内角和是360°！无论它是什么形状的四边形。 4.应用公式计算： （1）遇到已知边数的多边形求内角和，直接套用公式（）× 180° 计算即可。 （2）例如： ①五边形（边数5）：（） × 180° = 3 × 180° = 540° ②六边形（边数6）：（） × 180° = 4 × 180° = 720° ③十二边形（边数12）：（ ）× 180° = 10 × 180° = 1800° 5.灵活运用：有时题目会反过来给你一个多边形的内角和，让你判断它是几边形。 （1）思路：内角和 ÷ 180° = （边数 - 2） （2）边数 = （）+ 2 （3）例如：一个多边形内角和是1080°，它是几边形？ 1080 ÷ 180 = 6 6 + 2 = 8 答：它是一个八边形。 6.结合图形特点解题： （1）在一些四边形（如长方形、正方形）中，由于四个角相等或存在特定关系，可以通过360°÷ 4 = 90°（正方形、长方形）等方式快速求每个角的度数。 （2）在不规则图形中，可以利用内角和是360°这个固定值，结合已知角的度数求未知角的度数。 ①例如：在一个四边形中，已知其中三个角分别是70°, 120°, 85°，求第四个角是多少度？ ②第四个角 = 360° - 70° - 120° - 85° = 85° 三、易错点提醒 1.忘记公式中的“减2”：最容易犯的错误！只记住边数 × 180°，这样算出来的是包含了中心区域的总角度，比实际内角和大很多（刚好大了360°）。一定要用（ ）× 180°！ 2.四边形内角和不确定：误以为只有正方形或长方形的内角和是360°，其他四边形不是。务必记住：只要是四边形，内角和必定是360°！ 四、实用性公式总结 图形 边数 内角和公式 内角和度数 三角形 3 （） × 180° 180° 四边形 4 （） × 180° 360° 五边形 5 （） × 180° 540° 六边形 6 （） × 180° 720° n边形 n （） × 180° 例题讲解 多边形的内角和 【例题1】用3个三角形拼成一个五边形，如下图，这个图形的内角和是（　　）。 A．540° B．180° C．720° D．360° 【答案】A 【详解】【解答】解：180°×3=540°。 故答案为：A。 【分析】这个图形的内角和可以看作3个三角形的内角和，三角形的内角和是180°，据此作答即可。 【例题2】如图，将一个长方形剪掉一个角后，剩下图形各内角的度数和是540°。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：将一个长方形剪掉一个角后，剩下图形是五边形， （5-2）×180°=3×180°=540°，各内角的度数和是540°。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。 【例题3】根据任意三角形的内角和都是180°，可以推导出四边形的内角和是　 　，五边形的内角和是　 　。 【答案】360°；540° 【详解】【解答】解：如图： 180°×2＝360° 180°×3＝540° 四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°。 故答案为：360°；540°。 【分析】多边形的内角和=（n-2）×180°。 【例题4】自然界有许多出色的动物“建筑设计师”，“技术高超”的动物也是人类建筑灵感的“启发者”。蜜蜂的蜂巢是完美的正六边形，结构稳定，造型美观。如图，六边形的内角和是　 　度。 【答案】720 【详解】【解答】解：（6-2）×180° =4×180° =720° 故答案为：720。 【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。 考点练习 多边形的内角和 1．如下图，一个图形被遮住了一部分，下面说法正确的是（　　）。 A．一定是直角三角形 B．可能是等腰梯形 C．它的内角和可能是720° D．不可能是五边形 【答案】C 【详解】【解答】解：选项A：该图形有一个直角，所以可能是直角三角形，也有可能是正方形、长方形等，所以该说法不准确。 选项B：有一个直角的梯形是直角梯形，该说法不准确。 选项C：内角和为720度的图形为六边形，六边形指的是多边形有六条边和六个角，图中只露出一个角两条边，有可能是六边形，该说法正确。 选项D：题目中露出的只有一个角，被遮挡部分可能还有四个角，则有可能是五边形，D说法错误。 故答案为：C。 【分析】该图形有一个直角，根据这个直角，判断选项是否正确。 2．计算一个六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形(如图)，它的内角和是180×4=720°。像这样计算八边形的内角和正确的是（　　）。 A．180° ×8=1440° B．180° ×7=1260° C．180° ×5=900° D．180° ×6=1080° 【答案】D 【详解】【解答】解：（8-2）×180° =6×180° =1080°。 故答案为：D。 【分析】多边形的内角和=（n-2）×180°。 3．下面四个图形中，内角和是360°的图形是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：360°÷180°＋2 =2＋2 =4（边）。 故答案为：C。 【分析】四边形的内角和是360°，多边形的边数=多边形的内角和÷180°＋2。 4．把一个五边形分成5个三角形(如图)，这个五边形的内角和是(　　)。 A．900° B．540° C．360° D．270° 【答案】B 【详解】【解答】解：（5-2）×180°=3×180°=540°， 这个五边形的内角和是540°。 故答案为：B。 【分析】多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°。 5．将一个五边形按照图a与图b的方式截去∠1，下面哪个说法正确?（　　）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大90° C．甲的内角和比乙的内角和大180° D．不能确定甲和乙的内角和的关系 【答案】C 【详解】【解答】解：将一个五边形按照图a与图b的方式截去∠1后，甲变成了五边形，乙变成了四边形，则 （5-2）×180°-（4-2）×180° =（3-2）×180° =1×180° =180°。 故答案为：C。 【分析】先确定截去∠1后甲、乙是几边形，然后应用多边形的内角和=（n-2）×180°，计算出结果。 6．多边形的内角和都是180°。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：三角形的内角和是180°，原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，边数不同，内角和也是不同的。 7．任意五边形的内角和都是 540°。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：（5-2）×180° =3×180° =540°。 故答案为：正确。 【分析】多边形的内角和=（n-2）×180°。 8．平行四边形和梯形的内角和都是　 　度，正十二边形的内角和是　 　度。 【答案】360；1800 【详解】【解答】解：平行四边形和梯形都是四边形，内角和都是360度， （12-2）×180°=10×180°=1800°，所以正十二边形的内角和是1800度。 故答案为：360；1800。 【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。 9．过十边形的一个顶点画对角线，能将十边形分成　 　个三角形，它的内角和是　 　。 【答案】8；1440° 【详解】【解答】解：10-2=8，能将十边形分成8个三角形， 180°×（10-2）=180°×8=1440°，它的内角和是1440°。 故答案为：8；1440°。 【分析】多边形的边数-2=从一个顶点处得到的三角形个数；（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。 10．你能想办法求出一个五边形的内角和吗？ 【答案】解：如图，五边形划分为3个三角形 180°×3＝540° 答：五边形的内角和是540°。 【详解】【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。 11．这个正六边形的内角和是多少度？每一个内角是多少度？尝试计算一下。（正六边形中每个内角的度数是相等的） 【答案】解：（6－2）×180°＝720° 720°÷6＝120° 答：这个正六边形的内角和是720°，每一个内角是120°。 【详解】【分析】此题主要考查了多边形的内角和，n边形的内角和=（n-2）×180°，据此列式解答。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假专项提升：多边形的内角和 讲义 思维导图 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.所有多边形的内角和计算公式： （1）多边形内角和 = （）× 180° （2）关键理解：这里的“边数”指的是这个多边形有多少条边（也就是有几个角）。常用n表示边数，公式写作（ ）× 180°。 （3）记忆口诀：边数减二乘一百八。 2.推导思路（理解最重要）：所有多边形都可以分割成若干个三角形。 （1）从多边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点画对角线。 （2）这些对角线把多边形分割成了多个三角形。 （3）分割出的三角形个数 = 边数 - 2（例如：四边形分成2个，五边形分成3个，六边形分成4个）。 （4）因为一个三角形的内角和是180°。 （5）所以，整个多边形的内角和 = （分割出的三角形个数）× 180° = （ ）× 180°。 3.特例：四边形 （1）边数 n = 4。 （2）内角和 = （ ）× 180° = 2 × 180° = 360°。 （3）重要结论：任意一个四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则的四边形等）的内角和都是360°。 二、复习要点与技巧 1.牢记基础：必须熟练记住三角形内角和等于180°，这是多边形内角和的基础。 2.理解公式含义：重点理解为什么是（）。建议画一些简单图形（如四边形、五边形）验证一下分割出的三角形个数。理解了这个思路，公式就不容易忘记。 3.记住关键特例：务必记住四边形内角和是360°！无论它是什么形状的四边形。 4.应用公式计算： （1）遇到已知边数的多边形求内角和，直接套用公式（）× 180° 计算即可。 （2）例如： ①五边形（边数5）：（） × 180° = 3 × 180° = 540° ②六边形（边数6）：（） × 180° = 4 × 180° = 720° ③十二边形（边数12）：（ ）× 180° = 10 × 180° = 1800° 5.灵活运用：有时题目会反过来给你一个多边形的内角和，让你判断它是几边形。 （1）思路：内角和 ÷ 180° = （边数 - 2） （2）边数 = （）+ 2 （3）例如：一个多边形内角和是1080°，它是几边形？ 1080 ÷ 180 = 6 6 + 2 = 8 答：它是一个八边形。 6.结合图形特点解题： （1）在一些四边形（如长方形、正方形）中，由于四个角相等或存在特定关系，可以通过360°÷ 4 = 90°（正方形、长方形）等方式快速求每个角的度数。 （2）在不规则图形中，可以利用内角和是360°这个固定值，结合已知角的度数求未知角的度数。 ①例如：在一个四边形中，已知其中三个角分别是70°, 120°, 85°，求第四个角是多少度？ ②第四个角 = 360° - 70° - 120° - 85° = 85° 三、易错点提醒 1.忘记公式中的“减2”：最容易犯的错误！只记住边数 × 180°，这样算出来的是包含了中心区域的总角度，比实际内角和大很多（刚好大了360°）。一定要用（ ）× 180°！ 2.四边形内角和不确定：误以为只有正方形或长方形的内角和是360°，其他四边形不是。务必记住：只要是四边形，内角和必定是360°！ 四、实用性公式总结 图形 边数 内角和公式 内角和度数 三角形 3 （） × 180° 180° 四边形 4 （） × 180° 360° 五边形 5 （） × 180° 540° 六边形 6 （） × 180° 720° n边形 n （） × 180° 例题讲解 多边形的内角和 【例题1】用3个三角形拼成一个五边形，如下图，这个图形的内角和是（　　）。 A．540° B．180° C．720° D．360° 【例题2】如图，将一个长方形剪掉一个角后，剩下图形各内角的度数和是540°。（　　） 【例题3】根据任意三角形的内角和都是180°，可以推导出四边形的内角和是　 　，五边形的内角和是　 　。 【例题4】自然界有许多出色的动物“建筑设计师”，“技术高超”的动物也是人类建筑灵感的“启发者”。蜜蜂的蜂巢是完美的正六边形，结构稳定，造型美观。如图，六边形的内角和是　 　度。 考点练习 多边形的内角和 1．如下图，一个图形被遮住了一部分，下面说法正确的是（　　）。 A．一定是直角三角形 B．可能是等腰梯形 C．它的内角和可能是720° D．不可能是五边形 2．计算一个六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形(如图)，它的内角和是180×4=720°。像这样计算八边形的内角和正确的是（　　）。 A．180° ×8=1440° B．180° ×7=1260° C．180° ×5=900° D．180° ×6=1080° 3．下面四个图形中，内角和是360°的图形是（　　）。 A． B． C． D． 4．把一个五边形分成5个三角形(如图)，这个五边形的内角和是(　　)。 A．900° B．540° C．360° D．270° 5．将一个五边形按照图a与图b的方式截去∠1，下面哪个说法正确?（　　）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大90° C．甲的内角和比乙的内角和大180° D．不能确定甲和乙的内角和的关系 6．多边形的内角和都是180°。（　　） 7．任意五边形的内角和都是 540°。（　　） 8．平行四边形和梯形的内角和都是　 　度，正十二边形的内角和是　 　度。 9．过十边形的一个顶点画对角线，能将十边形分成　 　个三角形，它的内角和是　 　。 10．你能想办法求出一个五边形的内角和吗？ 11．这个正六边形的内角和是多少度？每一个内角是多少度？尝试计算一下。（正六边形中每个内角的度数是相等的） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$