第14章 精练6 斜边及一直角边证全等(HL)-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

+12×8×6=48. (3)解:∠DAB+∠ECF=2∠DFC,理由 如下: ∵△ACE≌△ACF, ∴∠ACE=∠ACF, 又∵∠CAE=∠CAF, ∴∠DAB+∠ECF=(∠CAE+∠CAF)+ (∠ACE+∠ACF)=2(∠CAF+∠ACF), ∵∠DFC=∠CAF+∠ACF, ∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC. 精练5 尺规作图 1.D 2.SSS 3.解:如图,射线OE即为所求的光线. " . $ - & / 0 # 4.A 5.解:如图,射线DE和射线DE'即为所求. " # % $ & &
6.C 7.D 8.②③①④ 9.C 10.以点E为圆心,EF长为半径画弧;72 11.解:如图,△ABC即为所求. B " &$ % # ' 12.解:(1)如图,△DEF即为所求. " # $ % & ' (2)SAS 精练6 斜边及一直角边证全等(HL) 1.A 2.D 3.C 4.35 5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,点 E,F 为 垂足, ∴∠BED=∠CFD=90°, ∴△BED 和△CFD 均为直角三角形, ∵D 为BC 的中点, ∴BD=CD, 在Rt△BED 和Rt△CFD 中, BD=CD DE=DF ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL). 6.C 7.A 8.4或8或12 9.证明:(1)∵AD 是△ABC的高, ∴∠ADC=∠BDE=90°, 在Rt△ADC和Rt△BDE中, AC=BE AD=BD ∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL), ∴∠1=∠C. (2)如图,延长BE与AC 交于点M, " #%$ . &  ∵∠1=∠AEM,∠1=∠C, ∴∠AEM=∠C, 又∵∠ADC=90°, ∴∠C+∠CAD=90°, ∴∠AEM+∠CAD=90°, ∴∠AME=180°-(∠AEM+∠CAD) =90°, ∴BE⊥AC. 10.证明:(1)∵AF⊥DE, ∴∠DFA=90°=∠ABC, 在Rt△ADF和Rt△ACB中, AD=AC AF=AB ∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL), ∴∠DAF=∠CAB, ·001· ∴∠DAF+∠CAF=∠CAB+∠CAF, ∴∠DAC=∠FAB. (2)如图,连接AE, " # & $% ' ∵∠AFE=∠ABE=90°, 在Rt△AEF和Rt△AEB中, AE=AE AF=AB ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL), ∴EF=BE, ∵DF=BC, ∴DF=BC=CE+BE=CE+EF. 重点专题 三角形全等的基本模型 1.解:∵AC∥DF,BC∥EF, ∴∠A=∠EDF,∠ABC=∠E, 在△ABC和△DEF中, ∠A=∠EDF ∠ABC=∠E AC=DF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴AB=DE, ∴AB-BD=DE-BD, ∴AD=BE. 2.证明:(1)∵∠1=∠2,∠1+∠DPB=∠2 +∠CPB=180°, ∴∠DPB=∠CPB, 在△BDP 和△BCP 中, ∠DPB=∠CPB PB=PB ∠3=∠4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BDP≌△BCP(ASA). (2)由(1)可知,△BDP≌△BCP, ∴DP=CP, 在△ADP 和△ACP 中, AP=AP ∠1=∠2 DP=CP 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADP≌△ACP(SAS), ∴AD=AC. 3.(1)证明:∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△BAE和△DAC中, AE=AC ∠BAE=∠DAC AB=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BAE≌△DAC(SAS). (2)解:∵△BAE≌△DAC, ∴∠E=∠C, ∵∠CAD=135°,∠D=20°, ∴∠C=180°-∠CAD-∠D=180°- 135°-20°=25°, ∴∠E=∠C=25°. 4.解:(1)∵A(4,0),B(0,3), ∴OA=4,OB=3, ∴OA·OB=4×3=12. (2)如图,作CD⊥x轴于点D, " % Y $ Z # 0 则∠AOB=∠CDA=90°, ∴∠ACD+∠CAD=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠CAD+∠BAO=90°, ∴∠ACD=∠BAO, 在△BAO和△ACD 中, ∠AOB=∠CDA ∠BAO=∠ACD AB=CA 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BAO≌△ACD(AAS), ∴AD=OB=3,CD=OA=4, ∴OD=OA+AD=4+3=7, ∴C(7,4). 5.解:(1)延长线段FD 到点G,使DG=BE, 连接AG,则∠ADG=90°, ·101· 满分:50分,限时:20分钟 精练6 斜边及一直角边证全等(HL) 一、核心知识巩固(1-4题,每题3分,5题6分,共18分) 知识点1 用“斜边、直角边(HL)”判定两个三角形全等 1.如图,DE⊥AC 于点E,BF⊥AC 于点F,且 DE=BF,若利用“HL”证明△DEC≌ △BFA,则需添加的条件是 ( ) A.DC=BA B.EC=FA C.∠DCE=∠BAF D.∠D=∠B 2.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯 水平方向的长度DF 相等,若DF=6m,DE=8m,AD=4m,则BF等于 ( ) A.10m B.12m C.16m D.18m " % $ # & ' 第1题图 " % $ # & ' 第2题图 3.如图,在△ABC中,点F在边BC 上,FD⊥AC于点D,DE⊥AB于点E,AD=CF,AE= CD,若∠CFD=40°,则∠A= ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° " % $ # & ' 第3题图 " % $# & 第4题图 4.在Rt△ABC中,∠A=90°,点 D 在AC 上,DE⊥BC 于点E,且 DE=DA,连接 DB.若 ∠C=20°,则∠DBE的度数为 °. 5.如图,在△ABC中,D 为BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,且DE=DF.求 证:△BED≌△CFD. " % $# & ' ·72· 二、综合知识运用(6-8题,每题4分,9题8分,共20分) 6.如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其 中b<0<a,则a,b之间的数量关系是 ( ) A.a+b=2 B.a-b=2 C.a+b=4 D.a-b=4 " Y $ # 0 Z 第6题图 " % $# & ' / . 1 第7题图 " % $ #& / . 第8题图 7.如图,BP是∠ABC的平分线,DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别是点E,F,DM=DN,且BN= 6,FN=2,则BM 的长度是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=6cm,AC=2cm,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E 从A 点出发以1cm/s的速度沿射线AN 运动,点D 为射线BM 上一动点,随着E 点运 动而运动,且始终保持 ED=CB,当点 E 离开点A 后,运动 s时,△DEB 与 △BCA 全等. 9.如图,AD 是△ABC的高,E是AD 上一点,AD=BD,BE=AC. (1)求证:∠1=∠C. (2)求证:BE⊥AC. " %$ # &  三、拓广实践探索(共12分) 10.如图,四边形ABCD 中,∠ABC=90°,连接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC 上,连 接DE,过点A 作AF⊥DE,垂足为F,若AB=AF. (1)求证:∠DAC=∠FAB. (2)求证:DF=CE+EF. " # & % ' $ ·82·