第14章 精练3 两角及一边证全等(ASA/AAS)-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

满分:50分,限时:20分钟 精练3 两角及一边证全等(ASA/AAS) 一、核心知识巩固(1-6题,每题3分,共18分) 知识点1 用“角边角(ASA)”判定两个三角形全等 1.根据下列已知条件,能确定△ABC的形状和大小的是 ( ) A.∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° B.AB=6cm,BC=4cm,∠A=30° C.AB=5cm,AC=4cm,∠B=30° D.∠A=40°,∠B=50°,AB=5cm 2.如图,小明在一次智能大赛中,分别画了三个三角形,不料都被墨迹污染了,能画出和原 来完全一样的三角形的是 (填序号). 1 2 3 第2题图 " # % $ &' 第3题图 3.如图,点B,F,C,E 在同一条直线上,并且∠B=∠E,∠A=∠D,当AB= 时, △ABC≌△DEF. 知识点2 用“角角边(AAS)”判定两个三角形全等 4.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠B,则△ACD≌△ABD 的依据是 . 5.如图,∠C=∠D,再添加条件 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC. 6.如图,在△ACD 中,∠CAD=90°,AC=5,AD=12,AB∥CD,点E 是CD 上一点,BE 交 AD 于点F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为 . " # % $   第4题图 " # % $ & 第5题图 " # ' %$ & 第6题图 二、综合知识运用(7-11题,每题3分,12题7分,共22分) 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=4,过点C 作CD⊥AC,且CD=AC,则△BCD 的面积为 . " # % $ 第7题图 " # ' % $& 第8题图 8.如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,E为BC 的中点,连接DE,AE,延长DE交AB 的延 长线于点F.若AB=5,CD=3,AE⊥DE,则AD 的长为 . ·12· 9.如图,已知 BP 是∠ABC 的平分线,AP⊥BP,若S△BPC=12cm2,则△ABC 的面积等 于 . " # 1 $ 第9题图 "# % 0 ) =E =E =DE =DE K. $ 第10题图 " # 0 Y Z 1$ 第11题图 10.如图,小明沿一段笔直的人行道行走,在由A 走到B 的过程中,通过隔离带的空隙O,刚 好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD,具体信息如下:AB∥OH∥CD,相邻两 平行线间的距离相等,AC,BD 相交于O,OD⊥CD 垂足为D.已知AB=40米,则标语 CD 的长度为 米. 11.如图,已知点P(2m-3,5m-4)在第二象限角平分线OC上,∠BPA=90°,∠BPA 两边 与x 轴,y轴分别交于A 点,B点,则OA+OB的值为 . 12.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF. (1)求证:△BDE≌△CDF. (2)若AE=13,AF=7,试求DE的长. " # % $ & ' 三、拓广实践探索(共10分) 13.已知AB=AC,D,A,E,三点均在直线 MN 上,且∠BDA=∠BAC=∠AEC. (1)如图1,判断BD,CE,DE之间的数量关系,并说明理由. (2)如图2,若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”, 其他条件不变,且BD=5,CE=8,请求出DE的长. " # %. $ & / " # %. $ & / 图1 图2 ·22· 对 应 边 是 AC 和 EC,BC 和 DC,AB 和ED, 对应角是∠A 和∠E,∠B 和∠D,∠ACB 和∠ECD. 5.70° 6.3 7.75 8.①②③④ 9.②与⑦;⑤与⑨ 10.7 11.24 12.(0,3)或(0,-1)或(4,-1) 13.(1)证明:∵△BAD≌△ACE, ∴BD=AE,AD=CE, ∴BD=AE=AD+DE=CE+DE. (2)解:当∠BAC=90°时,BD∥CE,理由 如下: ∵∠BAC=90°, ∴∠BAE+∠CAE=90°, ∵△BAD≌△ACE, ∴∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠AEC, ∴∠ABD+∠BAD=90°, ∴∠ADB=90°, ∴∠BDE=90°,∠AEC=∠ADB=90°, ∴∠BDE=∠AEC, ∴BD∥CE. 14.解:∵PE⊥l于E,QF⊥l于F, ∴∠PEC=∠CFQ=90°, ∴∠QCF+∠CQF=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠PCE+∠QCF=90°, ∴∠PCE=∠CQF, ① 如图,当0≤t<4时,点P 在AC 上, 点Q 在BC 上, " # $ 21 & ' M 当PC=QC,即8-t=12-3t,解得t=2; ② 如图,当4≤t<8时,点P 在AC 上, 点Q 在AC 上,点P 与点Q 重合,点E与 点F重合, " # $ 2
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' M 当PC=QC,即8-t=3t-12,解得t=5; ③ 如 图,当 点 Q 停 在 点 A 处,点 P 在 BC上, " 2 # 1 $ &' M 当PC=QC=8,即t-8=8,解得t=16, 综上 所 述,当t等 于2或5或16时, △PEC与△QFC全等. 精练2 两边及夹角证全等(SAS) 1.D 2.C 3.D 4.SAS 5.(3,4)或(3,-4) 6.B 7.C 8.B 9.3 10.2或9 11.3.2 12.解:(1)6-2t (2)由题意,得PB=2t∴CP=6-2t, ∵点D 是AB 中点,AB=8cm, ∴AD=DB=4cm, 当PB=CQ,PC=BD 时 6-2t=4,t=1, at=2t,a=2, 当PB=CP,BD=CQ 时, 2t=12×6 , t=32 , at=4, 3 2a=4 , a=83 , 综上所述,a的值为2或83. 精练3 两角及一边证全等(ASA/AAS) 1.D 2.①② 3.DE 4.AAS 5.∠DAB=∠CBA(答案不唯一) 6.30 7.8 8.8 9.24cm2 10.40 11.2 12.(1)证明:∵AD 是BC 边上的中线, ∴BD=CD, ∵BE∥CF, ∴∠BED=∠CFD, ·89· 在△BDE和△CDF中, ∠BED=∠CFD ∠BDE=∠CDF BD=CD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BDE≌△CDF(AAS). (2)解:∵AE=13,AF=7, ∴EF=AE-AF=13-7=6, ∵△BDE≌△CDF, ∴DE=DF, ∴DE=12EF=3. 13.解:(1)DE=BD+CE,理由如下: ∵ ∠BDA=∠AEC=∠BAC,∠BAD+ ∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA +∠ABD, ∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD, ∴∠DBA=EAC, 在△ABD 和△CAE中, ∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC BA=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,CE=AD, ∴DE=BD+CE. (2)∵∠BDM=∠BAC=∠MEC, ∴ ∠BDA = ∠AEC,∠C= ∠MEC- ∠EAC,∠BAD=∠BAC-∠EAC, ∴∠C=∠BAD, 在△ABD 和△CAE中, ∠BDA=∠AEC ∠BAD=∠ACE AB=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE=5,CE=AD=8, ∴DE=CE-BD=8-5=3. 精练4 三边证全等(SSS) 1.C 2.B 3.B 4.40° 5.42° 6.B 7.4 8.30° 9.5 10.31° 11.证明:(1)∵点F是AD 的中点, ∴AF=DF, 在△AEF和△DHF中, AF=DF ∠AFE=∠DFH FE=FH 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEF≌△DHF(SAS). (2)∵△AEF≌△DHF, ∴AE=DH,∠AEF=∠DHF, ∴AB∥DH, ∴∠B=∠HDC, ∵AE=CD, ∴DH=CD, 在△HGD 和△CGD 中, DH=CD HG=CG DG=DG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△HGD≌△CGD(SSS), ∴∠HDG=∠CDG, ∴∠HDC=2∠GDC, ∴∠B=2∠GDC. 12.(1)证明:在△ACE和△ACF中, AE=AF CE=CF AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ACE≌△ACF(SSS), ∴∠CAE=∠CAF, ∴AC平分∠DAB. (2)解:∵△ACE≌△ACF, ∴CE=CF,∠AEC=∠AFC, ∴∠AEC+∠CEB=∠AFC+∠CFD, 即∠CEB=∠CFD, 在△BCE和△DCF中, ∠B=∠D ∠CEB=∠CFD CE=CF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BCE≌△DCF(AAS), ∴BE=DF,BC=DC=6, ∴AD=AF+DF=AE+BE=AB=8, ∴四边形ABCD 的面积=S△ABC+S△ADC =12AB ·BC+12AD ·DC=12×8×6 ·99·