相似三角形中的对应线段之比（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

本文围绕相似三角形中的对应线段之比展开，承接相似多边形性质，为解决几何问题奠基。通过观察、推导、应用等环节，培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达的核心素养。 该设计亮点在于借助多种教学资源，如几何画板、实物模型等。从学生层面提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点，强化学生对相似三角形性质的理解与应用。

相似三角形中的对应线段之比 教学设计 教学设计表 上课班级 - 讲授内容 相似三角形中的对应线段之比 上课日期 - 主讲教师 - 教学内容分析 （1）本节课的主要教学内容是探究相似三角形的性质，特别是关于对应线段之比的关系。 （2）本节课主要介绍了相似三角形对应高的比、对应角平分线的比以及对应中线的比与相似比之间的关系等知识点。 （3）通过学习本节课，学生能够理解并掌握相似三角形的各种对应线段比值与相似比的关系，熟练应用这些性质解决相关的几何问题，同时培养逻辑推理和空间想象能力。此外，学生还将通过小组合作和讨论，增强团队协作能力和问题解决技巧。 重点难点 教学重点： （1）理解并推导相似三角形中对应线段（高、角平分线、中线）的比与相似比的关系，培养逻辑推理能力。 （2）运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学应用意识和问题解决能力。 教学难点： （1）相似三角形对应线段比值的理解和应用。 （2）在真实情境中运用相似三角形的性质解决实际问题。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察相似三角形中对应线段的比值关系，理解相似比在几何图形中的实际意义。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过推导相似三角形对应高、角平分线和中线的比值关系，培养逻辑推理能力和数学思维的严谨性。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能够运用相似三角形的性质，准确表达和解决实际问题，提升数学语言的表达能力。 教学资源 （1）投影仪和电脑：用于展示投影片 §4.7.1 A 和 §4.7.1 B，以及相关的图形和题目，以便学生能够清晰地看到问题和解答过程。 （2）几何画板软件：为了帮助学生更好地理解相似三角形及其性质，可以使用几何画板软件动态展示三角形的变化及其对应线段的比例关系。 （3）实物模型：准备一些可拼接成不同形状三角形的塑料片或木块，让学生亲手操作，通过实际操作来感受相似三角形的性质。 教学过程设计 师生互动过程 二次备课 一、导入新课 ［教师］在之前的学习中，我们已经掌握了相似多边形的基本性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例。我们知道，相似三角形是相似多边形的一种特殊情况，因此也具有这些基本性质。那么，相似三角形是否还有其他重要的性质呢？本节课我们将一起探讨这个问题。 （教师展示一些相似三角形的图片，并引导学生回顾相似多边形的基本性质，然后引出本节课的主题：相似三角形中的对应线段之比） 二、新课讲解 1. 做一做 投影片（§4.7.1 A） 钳工小王准备按照比例尺为 3∶4 的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A′B′C′，CD 和 C′D′分别是它们的高。 （1）求 、 和 的值。 （2）判断△ABC 与△A′B′C′是否相似。如果相似，请说明理由，并指出相似比。 （3）在图①中再找出一对相似三角形。 （4）求 的值。你是怎么做的？与同伴交流你的方法。 图① ［学生］解：（1）, , （2）△ABC∽△A′B′C′ 因为 ，所以△ABC 与△A′B′C′相似，且相似比为 3∶4. （3）△BCD∽△B′C′D′（或 △ADC∽△A′D′C′） 由△ABC∽△A′B′C′得 ∠B=∠B′ 又因为 ∠BCD=∠B′C′D′（或 ∠ADC=∠A′D′C′），所以 △BCD∽△B′C′D′（或 △ADC∽△A′D′C′） （4） 因为 △BCD∽△B′C′D′，所以 （教师先让学生独立完成题目，然后请几位学生分享答案和解题思路，逐步验证相似三角形的对应边比和高的比的关系） 2. 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为 k。 （1）如果 CD 和 C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？ （2）如果 CD 和 C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果 CD 和 C′D′是它们的对应中线呢？ ［教师］请大家互相交流后写出你的想法和过程。 ［学生甲］从刚才的 “做一做” 中可以看出，若△ABC∽△A′B′C′，且 CD、C′D′是它们的对应高，那么 . 图② ［学生乙］如图②，△ABC∽△A′B′C′，且 CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么 . 图② 因为 △ABC∽△A′B′C′，所以 ∠A=∠A′, ∠ACB=∠A′C′B′。 又因为 CD、C′D′分别是 ∠ACB 和 ∠A′C′B′ 的角平分线，所以 ∠ACD=∠A′C′D′。 因此 △ACD∽△A′C′D′，所以 . ［学生丙］如图③，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则 . 图③ 因为 △ABC∽△A′B′C′，所以 ∠A=∠A′，且 。 又因为 CD、C′D′分别是中线，所以 。 因此 △ACD∽△A′C′D′，所以 . 通过讨论，我们可以得出以下结论： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 （教师通过学生的讨论，进一步引导学生理解并归纳出相似三角形的性质，并适时补充和总结） 3. 例题讲解 投影片（§4.7.1 B） 图④ 如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h, 点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD, 垂足为 E. 当 SR=BC 时，求 DE 的长；如果 SR=BC 时，求 DE 的长。 解：因为 SR⊥AD, BC⊥AD, 所以 SR∥BC. 又因为 ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C, 所以 △ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 因此 . 当 SR=BC 时，，解得 DE=h。 当 SR=BC 时，，解得 DE=。 （教师通过具体的例子来进一步巩固学生对相似三角形性质的理解，并引导学生逐步推导出结论） 三、课堂练习 如果两个相似三角形对应高的比为 4∶5, 那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？ （所有比均为 4∶5） （学生分小组讨论并完成练习，教师巡回指导，最后集体订正并进行点评） 四、课时小结 ［教师］通过本节课的学习，我们深入了解了相似三角形的其他重要性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。通过一系列的探索和应用，我们不仅加深了对这些性质的理解，还增强了实际问题解决的能力。 （教师带领学生回顾本节课的主要内容，强调关键知识点，并提出一些拓展性的问题，鼓励学生继续思考和探索） 五、活动与探索 图⑤ 如图⑤，AD，A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且 ， 你认为△ABC∽△A′B′C′吗？ 解：△ABC∽△A′B′C′成立。 因为 ，所以 △ABD∽△A′B′D′。 因此 ∠B=∠B′, ∠BAD=∠B′A′D′。 又因为 ∠BAC=2∠BAD, ∠B′A′C′=2∠B′A′D′， 所以 ∠BAC=∠B′A′C′。 因此 △ABC∽△A′B′C′。 （教师引导学生通过实际问题进一步探究相似三角形的性质，鼓励学生主动思考和解决新的问题） 课后作业 （1）根据相似三角形的性质，完成课后练习题：找出三个生活中的相似三角形实例，并计算它们的相似比。 （2）运用相似三角形的对应高、对应角平分线、对应中线的性质，解决实际问题：若两个相似三角形对应高的比为 4:5，求这两个三角形的对应中线比和对应角平分线比。 学科网（北京）股份有限公司 $$