专题01 有理数的8种运算技巧（题型专练）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版2024）

专题01 有理数的运算技巧 题型梳理 题型方法 题型一 归类组合法 题型二 凑整法 题型三 拆项法 题型四 裂项法 题型五 巧用分配律 题型六 分组相加法 题型七 倒数法 题型八 倒序相加法 题型方法 【题型一】归类组合法 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用减法法则将减法转化成加法，再运用加法法则计算即可； （2）先运用减法法则将减法转化成加法，再运用加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用运算律简化运算． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）本题考查的是有理数的减法运算，把减法化为加法运算，再计算即可； （2）本题考查的是有理数的加减混合运算，先把原式化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【题型二】凑整法 【例2】（2023七年级上·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】先将减法转化成加法，再根据加法法则及加法的简便方法计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，加法的简便运算，熟练掌握有理数运算法则是银题的关键，注意运用有理数加法运算律简便计算． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、绝对值化简，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算顺序和运算法则． （1）利用有理数的加减法法则和绝对值化简计算即可． （2）利用有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）解： ． 【变式2】计算：(1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式3】计算：(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算， （1）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律解答即可； 熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】拆项法 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)14 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，对于（1），将化为，再根据乘方分配率计算即可； 对于（2），根据根据乘法分配律计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律简便计算即可求解； （2）根据乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的运算法则． （1）先算括号内的减法运算，再算乘除法，最后算加法即可； （2）运用乘法分配律即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型四】裂项法 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．           ．．．．．． (1)由上述式子的规律，计算：． (2)类比以上式子的规律，计算：． (3)类比第（1）题，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据题中所给运算拆分方法进行求解即可； （2）根据题中所给的运算拆分方法进行求解即可； （3）根据（1）（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ； （3）解：由（1）（2）规律可得： ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题意发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，最后等于两个连续奇数分之一差的一半，即可得到第5个等式； （2）根据题目式子的规律得到，再代入计算求值即可． （3）根据规律，结合所给的等式的形式，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ∴ ； （3）解： ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 【题型五】巧用分配律 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)13； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可； （2）原式逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：；     ； （2）解：．           ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算， （1）先根据符号化简法则将原式化简，再进行加减运算； （2）先根据乘法分配律将原式展开，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算顺序及运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减法求解即可； （2）根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】分组相加法 【例6】计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【举一反三】【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】原式两个一组结合后，相加即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：. 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算及乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）先阅读下面文字，然后按要求解题． 例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果． （1）补全例题解题过程；_____=_____． （2）计算： （3）计算：． 【答案】（1）50，5050；（2）2550；（3） 【分析】（1）根据题干中的示例计算即可得解； （2）根据两数之和为102，再乘以数字的个数即可得； （3）将所有的a相加、所有含b的式子相加，含b的代数式利用以上求和方法求解可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：50、5050； （2） ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握． 【题型七】倒数法 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 【答案】 【分析】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果． 【详解】解： ， ∴． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由． 【答案】正确， 【分析】依据题目中所给的方法进行计算即可得到答案． 【详解】解：正确， ， 与互为倒数， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，倒数的定义，利用先求倒数的方法求解是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）阅读下列材料：阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，乘法分配律，先计算，过程为把除法变成乘法后，利用乘法分配律求解，再把的结果取倒数即可答案． 【详解】解： ， ∴． 【题型八】倒序相加法 【例8】【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：计算： ； 【答案】210 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：设①， 则②， ，． 所以，， 所以，， 故答案为：210． 【举一反三】【变式1】阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①+②，得 （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，③ 所以后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：　 　． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索．熟练掌握运算规律是解题的关键． （1）记，则，，计算求解即可； （2）记，则，，计算求解即可； （3）记，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：记，则， ∴， 解得，， ∴； （2）解：记，则， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：记，则， ∴， 解得， ∴． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江）同学们在求“正整数1到50的和”时，有些同学采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．小明经过思考以后，给出了下面不一样的解答过程： 解：设，① 则，② ①＋②，得（两式左右两边分别相加，左边等于2S，右边等于50个51的和），所以， 则．③ 所以． 我们把这种解答方法可以称为“倒序相加法”请解答下面的问题： (1)请你运用“倒序相加法”计算：． (2)猜想：______． (3)计算：． 【答案】(1)5050 (2) (3)495450 【分析】本题考查了数字类规律探索．熟练掌握运算规律是解题的关键． （1）设，则，两式相加计算求解即可； （2）记，则，，计算求解即可； （3）记，则，两式相加计算求解即可． 【详解】（1）解：设 则 ，得 所以， 所以； （2）解：记，则， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：记，则， ∴得， 解得． 好题必刷 一、解答题 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】（1）先算乘方和除法，再算减法； （2）利用乘法分配律展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （2）利用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则进行计算即可． （1）根据乘方运算法则和算术平方根定义进行求解即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （）先根据有理数乘法分配律计算，然后进行有理数减法运算即可； 本题主要考查了有理数混合运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级上·浙江宁波）用合理灵活的方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1)1250 (2)88 (3) (4)3 (5) (6)0 (7)1002 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）根据乘法运算律求解即可； （2）先算括号里面的，再算括号外面的即可； （3）根据有理数的加法法则求解即可； （4）根据有理数混合运算法则即可求解； （5）利用倒数法求解即可； （6）根据有理数混合运算法则即可求解； （7）根据有理数的加减法法则求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：∵ ∴； （6）解： ； （7）解： 7．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）计算 （1）             （2） （3）            （4） （5）       （6） （7）       （8） 【答案】（1）-28；（2）0；（3）-25.5；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】各式先化简符号，再利用加法结合律和交换律简化计算即可． 【详解】解：（1） = =-28； （2） = =0； （3） = = =-25.5； （4） = =； （5） = = =； （6） = = = =； （7） = = = =； （8） = = = = = 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加法的结合律与交换律． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的运算，根据题意找出运算规律是解题关键． （1）根据裂项计算即可； （2）根据裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可； （4）先去绝对值符号，再错位相减计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）先观察下列等式，再完成题后问题：；；． (1)请你类比猜想：____________． (2)求的值． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法及加减法运算是解题的关键． （1）根据题意找到规律，根据规律进行求解； （2）由（1）中的规律，裂项相消可进行求解； （2）将化成，再由（1）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）将化成， 解： ． 10．（22-23七年级上·浙江台州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为 所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于_____________； (3)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)见解析 (2)它本身 (3) 【分析】（1）先算括号，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）一个数的倒数的倒数是它本身； （3）先算倒数，再求这个倒数的倒数即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； ∴小明的解法是正确的； （2）由（1）可得到：一个数的倒数的倒数是它本身； （3）解： ， ， ， ； ∴． 【点睛】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数．”是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的运算技巧 题型梳理 题型方法 题型一 归类组合法 题型二 凑整法 题型三 拆项法 题型四 裂项法 题型五 巧用分配律 题型六 分组相加法 题型七 倒数法 题型八 倒序相加法 题型方法 【题型一】归类组合法 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【题型二】凑整法 【例2】（2023七年级上·浙江·专题练习）计算：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【变式2】计算：(1)； (2)． 【变式3】计算：(1)； (2)． 【题型三】拆项法 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2)． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【题型四】裂项法 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．           ．．．．．． (1)由上述式子的规律，计算：． (2)类比以上式子的规律，计算：． (3)类比第（1）题，计算： 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【题型五】巧用分配律 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）简便计算： (1)； (2) 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1) (2) 【题型六】分组相加法 【例6】计算 . 【举一反三】【变式1】计算： ． 【变式2】计算的结果是 ． 【变式3】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）先阅读下面文字，然后按要求解题． 例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果． （1）补全例题解题过程；_____=_____． （2）计算： （3）计算：． 【题型七】倒数法 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）阅读下列材料：阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【题型八】倒序相加法 【例8】【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：计算： ； 【举一反三】【变式1】阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①+②，得 （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，③ 所以后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：　 　． (3)计算：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【变式3】（24-25七年级上·浙江）同学们在求“正整数1到50的和”时，有些同学采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．小明经过思考以后，给出了下面不一样的解答过程： 解：设，① 则，② ①＋②，得（两式左右两边分别相加，左边等于2S，右边等于50个51的和），所以， 则．③ 所以． 我们把这种解答方法可以称为“倒序相加法”请解答下面的问题： (1)请你运用“倒序相加法”计算：． (2)猜想：______． (3)计算：． 好题必刷 一、解答题 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算 (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·浙江宁波）用合理灵活的方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 7．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）计算 （1）             （2） （3）            （4） （5）       （6） （7）       （8） 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）先观察下列等式，再完成题后问题：；；． (1)请你类比猜想：____________． (2)求的值． (3)探究并计算：． 10．（22-23七年级上·浙江台州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为 所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于_____________； (3)请你运用小明的解法计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$