3.4 数据的离散程度 课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

3.4 数据的离散程度 学习目标 1. 了解极差的意义，掌握极差的计算方法；（重点） 2. 理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．（重点、难点） 1 2 3 4 5 5 8 中位数 众数 分析数据 平均数、中位数、众数体现了数据的集中趋势 我们已经掌握了哪些概念分析数据呢？ 想一想：会有其他分析数据的方法吗？ 平均数 课前回顾 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近．质检员从甲、乙两厂家中各抽样调查了20只鸡腿，测得两厂生产鸡腿的平均质量都是75g，具体数据（单位g）如下： 把这些数据表示成下图： 情景引入 (1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？ (2)求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。 估计甲厂平均质量为75g，乙厂平均质量为75g 甲厂平均质量为75g，乙厂平均质量为75g (3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少？最小值呢？它们相差几克？ (4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明理由。 现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 极差就是刻画数据离散程度的一个统计量. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差. 极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定. 极差 一 2.数据4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5的极差是______. 1.数据－2，－1，0，1，2的极差是______. 3.数据0, －1, 2, 6, x的极差是8, 则x=______. 4 8 -2或7 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图： (1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距． 估计丙厂平均质量为75g，计算得平均质量为75.1g 可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画： 甲厂的差距依次是：0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3. 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图： (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距． (3)在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 丙厂的差距依次：0.1, 1.1, 2.1, 2.9, 3.1, 0.9, 1.1, 0.9, 1.1, 0.1,1.1, 3.1, 2.1, 3.1, 2.9, 0.9, 1.9, 1.9, 1.9, 3.9, 甲厂的鸡腿更符合要求。从第（2）问中的差距和可以看出。 观察两个式子，右边的式子更利于体现数据的离散程度，想一想是为什么呢？请谈谈你的看法？ 比一比 标准差是方差的算术平方根. 一般说来，一组数据的极差、方差、标准差都能体现数据的离散程度，其数值越小，这组数据就越稳定. 数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画． 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差用s2表示即： 例：方差是4，标准差就是2 分别计算从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差。根据计算结果，你认为哪家的产品更符合规格？ 问题1：在甲、丙两厂中，当比照对象“平均数”相同或接近（即一般水平相同或接近）时，并且此时“极差”也接近，也就无法作出决策.究其原因，极差虽是用来刻画一组数据离散程度的统计量，但它只是用到了这组数据中的最大和最小值这两个极端值，因此难失偏颇.那么，还有没有什么“量”能兼顾一组数据中的各个数据并能客观地反映其离散程度呢？ 用每个数据与其平均数差（简称“偏差”）的和来表示. 0；-1；-1；1；-2；1；0；2；2；-1; -1；0；0；1；-2；1；-2；3；2；-3. →丙厂： -0.1；- 1.1； -2.1；2.9；- 3.1；0.9；- 1.1; 0.9；- 1.1; -0.1; - 1.1; - 3.1; -2.1；- 3.1；2.9；0.9；1.9；1.9；1.9； 3.9. →甲厂： 甲、丙两组数据偏差的和都等于0. 追问1：什么原因造成了这种累加之和等于0呢？ 偏差相加，正负相互抵消. 追问2：怎样做才能保证这些“偏差”相加，不会造成正负相互抵消呢？ 方案一：各偏差先取绝对值再相加 方案二：各偏差先平方再相加 方案二：甲厂数据偏差的平方之和为50 方案一：甲厂数据偏差的绝对值之和为26 丙厂数据偏差的绝对值之和为37 甲稳定 说明：虽然第一种方案在涉及具体数据时较方便，但由于“各偏差先取绝对值再相加”的计算必须依靠绝对值的存在，不适合进一步的代数运算，不利于进一步的统计分析，故重点研究第二种方案. 丙厂数据偏差的平方之和为87.8 甲稳定 问题2：当我们用新设计的方案去衡量甲厂与丙厂的鸡腿质量时，丙厂却提出了一个条件：仍从丙厂产品中抽查20只鸡腿，但要从甲厂的产品中抽查100只鸡腿.同学们是否答应？ 不可用.多个累加其和必然增大，会导致甲的偏差之和大于乙的偏差之和，结论会与事实相反. 追问1：看来，我们的方案还不完善，它受样本容量的影响，换言之，如果两组数据的样本容量不同，样本容量大的其和的值就会相对大，比较两组数据的离散程度时就会因为个数不同而不科学了，有没有办法来改进这个量，使其科学公平呢？ ▼方案一：取相同容量的数据. ▼方案二：求各偏差平方和的平均数. 像这种采用“偏差平方和的平均数”这个量来刻画一组数据的离散（波动）程度,叫方差 定义：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。 即 其中， 是 x1，x2，…，xn 的平均数，s2 是方差 提问：在实际应用中，用方差来描述数据的离散程度时，由于计算中进行了平方，从而可能放大该组数据离散的程度，你能继续改进这个量吗？ 方差公式有什么特征？ 1.是平均数的形式 2.方差命名源于“差的平方” 求方差的算术平方根——标准差 定义：标准差就是方差的算术平方根，用“s”表示. （1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差； （2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？ 丙厂： 4.2. 解：(1) 甲厂： 2.5， (2) 甲厂更符合规定. 当数据分布比较分散(数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的平方和较大，方差就越大，反之亦然.即：一组数据的方差越小，这组数据就越稳定. 例 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明 5 次测试成绩的方差为 1.84；小兵 5 次测试成绩的方差为 3.04.所以结果表明小明的成绩比较稳定. 1. 数据－2，－1，0，1，2 的方差是___，标准差是____. 2. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a = _____，这五个数的方差为_____. 2 3 5.6 3.数据0, －1, 2, 6, x的极差是8, 则x=______. 7 数据的离散程度 极差 课堂小结 方差 标准差 $$