1.2矩形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，，点O是的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC＝BD B．AB⊥BC C．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD 4．如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 6．如图，在矩形中，点B坐标为，与y轴相交于点D，若轴，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，、、分别是边、、上不与、、重合的动点，且于，于，连接、，则的最小值为(    ) A． B． C．5 D．6 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变； 结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 二、填空题 9．若矩形的长为，宽为，则其对角线的长为 ． 10．如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为 ． 11．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ． 12．如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ，点 为对角线的交点，且 ，则 ______度 13．如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是 ． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，点E为BC边上一点，连结AE，将沿AE翻折，使点B恰好与点O重合，则BE的长为______. 三、解答题 15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 17．如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 18．如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 参考答案 1．【答案】C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程求出x的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），， ∵点O是的中点， ∴， 故选C． 2．【答案】C 【分析】首先得出，然后证明出是的中位线，即可得到． 【详解】∵矩形的对角线、交于点， ∴ ∴ ∵点、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴． 故选C． 3．【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐个判断即可． 【详解】解：如图 A．∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意； B．∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C．∵AO＝OB＝OC＝OD， ∵AC＝BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意； 故选D． 4．【答案】D 【分析】先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【详解】解：A、由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B、由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C、由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D、不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选D． 5．【答案】A 【分析】矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据勾股定理求得的长，同理可得的长，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． ， 是等边三角形． ，． ． ， ． ． ， ，解得． 同理可得． ． 故选A． 6．【答案】C 【分析】连接，设交于点M，根据矩形的性质可知，由于轴，得到D的坐标，再利用两点距离公式求解即可． 【详解】解：如图，当轴时，连接，设交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即， ∵轴， ∴轴， ∵点D在y轴上， ∴， ∴． 故选C． 7．【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求得，证明四边形是矩形，得出，进而根据垂线段最短，等面积法求得的长，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵于，于， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵ ∴ 即的最小值为 故选A． 8．【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据，证明，，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题． 【详解】解：是边的中点，， ，故结论Ⅰ正确； ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，故结论Ⅱ正确， 故选A 9．【答案】 【分析】根据勾股定理列出算式，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意得其对角线的长为：. 10．【答案】 【分析】首先根据矩形的性质，可得；接下来再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴． 11．【答案】 【分析】根据折叠性质，，由矩形性质及，，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质得到， 在矩形纸片中，，， 设， 在中，， 即， 化简得， 解得， ， ∴． 12．【答案】 【详解】解：如图，连接 ； 四边形 是矩形，且 平分 ， ； 是等腰直角三角形，得 ； ， ； 又 ， 是等边三角形，得 ； ； ； ． 13．【答案】 【分析】连接，作于点，折叠得到，垂直平分，等积法求出的长，进而求出的长，设，勾股定理列出方程求出的值，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴. 14．【答案】  【详解】解：将沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点O处， ，，， ， ， 在中， ， ， 16．【答案】  【详解】解：四边形OABC是矩形，，， ，，， 轴，轴， 点E，G的横坐标为b，点D，F的纵坐标为a， 点F，G在反比例函数的图象上， ，， 点D，E在反比例函数的图象上， ，， ，， 如下图：过点G作轴于点H， 则，点H坐标为， ∽，，， ， 即，， 解得；， 的面积为 15．【答案】（1）见详解；（2）OE=5，BG=2. 【分析】（1）先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； （2）先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：（1）证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． （2）∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 16．【答案】（1）见详解；（2）矩形ABCD的面积为 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°， ∵BE=DF， ∴OE=OF， 在△AOE和△COF中， ∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==6， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36． 17．【答案】（1）证明过程见详解 （2）20 【分析】（1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 18．【答案】（1）见详解 （2） 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积 ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$