2.4 《分式方程》课件2024—2025学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

2.4 分式方程 1、理解分式方程的概念; 2、掌握列分式方程的基本方法和步骤. 学习目标 合作探究一：分式方程的概念 新知生成 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 小组交流：分式方程与整式方程的区别与联系？ 问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9， ②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍； 探究一 知识点 分式方程的概念及列分式方程 （3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎样的方程？ （2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？ 探究一 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？ 探究一 速度 × 时间 = 路程 单价 × 数量 = 总价 工作效率× 时间 = 工作总量 单位量 × 数量 = 总量 人均捐款额× 人数 = 总捐款额 √ 模型特征： 基本数量关系： 探究一 议一议：比较左右两边的方程, 有什么不同? 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程 整式方程 探究一 分式方程的概念 分式方程的特征： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数. 结论 小结 做一做 下列式子，哪些是分式方程？ ① ② ③ ④ ⑤ π不是未知量，即分母没有未知数. 没有等号，不是方程. 判断是否为分式方程，看原式，不化简. 分母没有未知数. 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 分式方程 整式方程 区别 分母中含有_______ 分母中___________ 未知数 不含未知数 下列关于x的方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？请你找找看. 归纳 分式方程必须满足的条件(三者缺一不可) (1) 是方程(含有未知数的等式)； (2) 含有分母； (3) 分母中含有未知数. 方法总结 问题3 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？ 步骤一样 探究一 实际问题 建立分式方程 找到数量关系 列分式方程解决实际问题的一般思路 抽象出数学模型 结论 总结 解：方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0, ∴分式方程的解为x=9 典例精析 例1 解方程 ∴x=9是原分式方程的解 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0, 所以，原分式方程无解. 典例精析 例2 解方程 因此x=1不是原分式方程的解. 方法总结 分式方程 整式方程 去分母 x =a 解整式方程 把x=a代入最简公分母是否为零？ 检验 x=a不是 分式方程的解 x=a是 分式方程的解 为零 非零 例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 ． a＜－1且a≠－2 典例精析 【解析】 2x＋a＝x－1 解得x＝－a－1 ∵关于x的方程 的解是正数 ∴x＞0且x≠1 解得a＜－1且a≠－2 ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2 方程两边同乘(x－1)，得: ∴ －a－1＞0 －a－1≠1 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数x,满足怎样的方程？ 方程为: 巩固练习 1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5）是整式方程，（6）不是方程. 课堂检测 2.找找看，下列关于x的方程中哪些是分式方程： （ ） （ ） （ ） （ ） 否 是 是 否 课堂检测 3.下列方程是分式方程的是(　 　) A. =0 B. C. x2-1=3 D. 2x+1=3x B 课堂检测 4.下列关于x的方程中,属于分式方程的个数是(　 　) ①- x3+3x=0; ② ; ③ ; ④ =6. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 课堂检测 5.下列方程中，不是分式方程的是（ ） C 课堂检测 分式方程的概念及列分式方程 概念 列分式方程步骤 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 1.审清题意，明确题目中的未知数； 2.根据题意找等量关系，列出分式方程. 课堂小结 $$