第11讲 1.1.2空间向量的数量积运算（预习新知）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第11讲 1.1.2空间向量的数量积运算（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 4 题型一：数量积的计算 4 题型二： 　用数量积证明垂直问题 7 题型三：用数量积求角度 11 题型四： 用数量积求长度 12 题型五：利用向量的数量积求两异面直线所成角 16 第四部分：自主预习成果检测 21 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象) 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算) 3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1、 空间向量的夹角 1.1．概念 如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. 1.2．范围 ． 1.3．特别地，如果，那么向量互相垂直，记作． 对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点： (1)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 1.4拓展 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2.空间向量的数量积 2.1定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作 即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.2性质 ① ②若与同向，则；若与反向，则．特别地，． ③. 2.3运算律 ①，. ②(交换律)． ③(分配律). 2.4对空间向量数量积的理解 (1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; (2)若(),则不能得出或,即空间向量不能进行除法运算. 2.5.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; (3)利用关系(,为非零向量)可以证明空间两直线的垂直. 3 向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 第三部分：典型例题剖析 题型一：数量积的计算 典型例题： 例题1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再利用数量积的定义求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A 例题2．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 精练核心 1．（24-25高二上·江西·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 【答案】B 【分析】由向量的线性关系先表示出，再由向量的数量积得到结果. 【详解】∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， ． 故答案为：-12 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】/ 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 4．（23-24高二上·新疆·期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 题型二： 　用数量积证明垂直问题 典型例题： 例题1．（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，然后利用空间向量基本定理用，，表示，再求出即可得结论. 【详解】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即．    精练核心 1．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 2．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1)， (2) (3)垂直 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得， . （2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 3．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案； （2）通过空间向量数量积的运算即可证明. 【详解】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 题型三：用数量积求角度 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】，故 所以. 故选：D． 例题2．（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的垂直关系求出的值，再利用空间向量数量积求出，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为空间向量、满足，，， 则，可得， 所以，， 因为，故， 所以，向量、的夹角为. 故答案为：. 精练核心 1．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】由题意，再两边平方求解即可. 【详解】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 题型四： 用数量积求长度 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 例题2．（24-25高二上·吉林长春·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．29 【答案】C 【分析】因为，所以结合向量的运算，即可求解. 【详解】在平行六面体中，，所以， 所以 故选：C. 精练核心 1．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模长度. 【详解】如图，由已知，，， ∵， ∴ ， ∴，即， 故选：A. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 3．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，由向量的线性运算可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 连接， 由题意可得， 所以 ， 所以. 故选：D 题型五：利用向量的数量积求两异面直线所成角 典型例题： 例题1．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 例题2．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【详解】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 精练核心 1．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：D. 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 6．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长即可求解. 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 7．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算即可得解. 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 8．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以故A错误； 因为，，， 所以， 所以，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，， 所以 因为， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 12．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算，数量积运算和二次函数的性质求解即可． 【详解】连接，如图，    由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且， 设，，，则， 且由题意， ∴ ， ， 令，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值是． 故答案为：． 四、解答题 13．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 14．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）利用空间向量的数量积计算模长即可； （2）利用空间向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1）由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即； （2）由（1）可知， 所以异面直线与BC所成角的余弦值为. 15．（23-24高二上·福建三明·开学考试）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． (1)求，为邻边的平行四边形的面积S； (2)求，夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算出答案即可； （2）分别求出、、的值即可. 【详解】（1）根据条件，，∴； ∴； （2） ； ， ； ∴. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 1.1.2空间向量的数量积运算（预习新知） 目录 第一部分：脉络导图总览全局 1 第二部分：知识精准记忆 2 第三部分：典型例题剖析 4 题型一：数量积的计算 4 题型二： 　用数量积证明垂直问题 7 题型三：用数量积求角度 11 题型四： 用数量积求长度 12 题型五：利用向量的数量积求两异面直线所成角 16 第四部分：自主预习成果检测 21 第一部分：脉络导图总览全局 课标要求： 1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象) 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算) 3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算) 第二部分：知识精准记忆 1、 空间向量的夹角 1.1．概念 如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. 1.2．范围 ． 1.3．特别地，如果，那么向量互相垂直，记作． 对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点： (1)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 1.4拓展 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2.空间向量的数量积 2.1定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作 即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.2性质 ① ②若与同向，则；若与反向，则．特别地，． ③. 2.3运算律 ①，. ②(交换律)． ③(分配律). 2.4对空间向量数量积的理解 (1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; (2)若(),则不能得出或,即空间向量不能进行除法运算. 2.5.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; (3)利用关系(,为非零向量)可以证明空间两直线的垂直. 3 向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 第三部分：典型例题剖析 题型一：数量积的计算 典型例题： 例题1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 例题2．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 精练核心 1．（24-25高二上·江西·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 4．（23-24高二上·新疆·期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 题型二： 　用数量积证明垂直问题 典型例题： 例题1．（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    精练核心 1．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 2．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 3．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 题型三：用数量积求角度 典型例题： 例题1．（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 例题2．（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 精练核心 1．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 题型四： 用数量积求长度 典型例题： 例题1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 例题2．（24-25高二上·吉林长春·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．29 精练核心 1．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 题型五：利用向量的数量积求两异面直线所成角 典型例题： 例题1．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 精练核心 1．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 第四部分：自主预习成果检测 1．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 6．（24-25高二上·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 8．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 12．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是 ．    四、解答题 13．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 14．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 15．（23-24高二上·福建三明·开学考试）已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． (1)求，为邻边的平行四边形的面积S； (2)求，夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$