1.1　《因式分解》 课件 2025-—2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

1.1 因 式 分 解 学习目标 1.了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 想一想 回顾 & 思考 a(m+n)= . (a+b)(m+n)= . am+an am+an+bm+bn (a+b)(a-b)= . (a±b)2= . 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式 想一想 回顾 & 思考 复习回顾 用简便方法计算： （1）736×95+736×5 （2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 创设情境1 993–99能被100整除吗？你是怎样想的？ 993-99=99x992-99x1 =99(992-1) =99(99+1)(99-1) =98x99x100 所以，993-99能被100整除。 993–99还能被哪些正整数整除？ 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗？ 用a表示任意一个大于1的整数，则你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ a3-a=a*a2-a*1 =a(a2-1) =a(a+1)(a-1) 一个多项式 化成 几个整式积的形式 创设情境2 一个多项式 化成 几个整式积的形式 引出概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，也叫做因式分解。 因式分解的定义: 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. 理解定义 做一做 计算下列各式: (1) 3x(x-1)= ; (2)m(a+b-1)= ; (3) (m+4)(m-4)= ; (4) ( y-3)2= . 根据左面的算式填空: 3x2-3x=( )( ) ma+mb-m=( )( ) m2-16 =( )( ) y2-6y+9 =( )（ ） 3x2-3x m2-16 y2-6y+9 ma+mb-m m a+b-1 3x x-1 y-3 m+4 m-4 y-3 因式分解与整式乘法有什么联系? 二者是互逆的恒等变形 因式分解 善于辨析     (2022山东临沂兰山期末)下列各式从左到右的变形是因式 分解的是 (　    ) A.ax+bx+c=(a+b)x+c B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2-5a-6=(a-6)(a+1) 例 1 D 1　因式分解 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解; B项,是整式的乘法; C项,是整式的乘法; D项,把一个多项式转化成几个整式的积的形式,故符合题意.故 选D. 解： 因式分解的结果必须满足: (1)是几个整式的乘积; (2)变形前后式子的值左右两边相等; (3)分解到不能再分解为止. 点拨 1　因式分解     (1)计算下列各式: ①a(a+1)=　　　    ; ②(2a-b)(2a+b)=　 　    . (2)根据(1)中的计算结果,把下列各式分解因式. ①a2+a=　　　    ; ②4a2-b2=　 　　    . 例 2 a2+a 4a2-b2 a(a+1) (2a-b)(2a+b) 1　因式分解 对于(1),利用单项式与多项式的乘法法则和平方差公式进行 计算; 对于(2),利用因式分解与整式乘法的关系与(1)的结果进行分解. 解： 方法总结 整式乘法是把“积”化成“和差”,因式分解是把“和差”化成“积”,这两者互为逆变形. 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 巩固概念 下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么? 巩固概念 （1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表示； （3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次数； 归纳 （4）必须分解到每个因式不能再分解为止. x2-y2 (3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2 x2+2x+1 y(x-y) 9-25x2 (x-y)(x+y) 随堂练习 1、把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法. 2. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530 = 9010000 随堂练习 3. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除 随堂练习 假如用一根比地球赤道长10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间隙能有多大(赤道看成圆形，设地球的半径为r，铁丝围成圆形的半径为R)? 随堂练习 R–r 所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 米. 解：根据题意可得， 随堂练习 本节小结 2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用. $$