同步微点进阶讲义13 指数函数的图像与性质-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点13   指数函数的图象与性质 由指数函数的解析式识别相应的函数图象，判定简单复合函数的奇偶性和单调性并应用，这体现着由一般到特殊、函数与方程、数形结合和分类讨论的思想．下面我们从以下三个方面进行研究： 1、指数函数的图象与应用 2、指数函数的性质与应用 3、指数函数的复合问题 对于指数函数的图象与应用，常结合函数性质，用特值法、排除法等选择图象，并注意分析底数与1的关系；对于指数函数的性质与应用，常见过定点问题，或单调性的应用；对于指数函数的有关复合问题，仍立足于指数函数的性质，结合复合函数的单调性，还需要多积累一些指数函数复合型函数的性质，要注重领悟数学思想与方法来解决问题. 在学习过程中，要提升数学抽象、直观想象、数学建模以及数学运算素养，方可很好的完成解题与学习． 探究一　指数函数的图象与应用 【典例1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详细解析】定义域为，且， 则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 【题后反思】关于复杂型函数图象的识别，一般从奇偶性入手排除部分选项，再结合特殊值或极限的思想，之后可探究单调性，三步走基本可确定结果. 【举一反三】 1．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解. 【详解】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 【典例2】已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【详细解析】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 【题后反思】根据指数函数在第一象限中底大图高作出图象，利用数形结合思想分类讨论选项即可. 【举一反三】 2．设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为0 【答案】AD 【分析】在同一坐标系作出和的图象如图所示，结合题意可得分段函数的图像与解析式，根据图象和解析式逐项分析判断. 【详解】在同一坐标系作出和的图象如图所示，    当时，令，解得，可求得； 当时，令，解得，可求得； 由题意可知：，其图象是图中粗线部分. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：当时，，显然，故B错误； 对于选项C、D：由题可知，函数有最小值0，无最大值，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：根据题意作出的大致图象，结合图象求出的解析式，体现数形结合思想的应用. 探究二　指数函数的性质与应用 【典例3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】或命题为真则有一真即可，从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详细解析】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 【题后反思】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解； 【举一反三】 3．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】由于， ，，，， 即函数的定义域为 当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确； 当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确； 即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题. 【典例4】当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为______. 【思路引导】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解 【详细解析】由题意，得当时不等式恒成立，即， 令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当时，如图所示， 由图可知，，恒成立，故不满足题意； 当时，如图所示， 由图可知，要，恒成立， 需， 即，解得，故 综上可知： a的取值范围是. 【题后反思】本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【举一反三】 4．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论. 【详解】因为是定义在上的“倒戈函数， 存在满足，，， 构造函数，， 令，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值0， 或取得最小值，， ，， 故选：A. 探究三　指数函数相关的复合函数问题 【典例5】已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ） A．8    B．10    C．13    D．18 【思路引导】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答. 【详细解析】函数定义域为R，且，即点在函数图象上， ，， 因此，函数的图象关于点对称， 依题意，不妨令，则点与关于点对称， 即且， 所以. 故选：D 【题后反思】函数的定义域为D，，存在常数a，b使得或者，则函数图象关于点对称，可适当积累一些形如函数的对称性. 【举一反三】（23-24高二下·天津滨海新·期末） 5．已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】判断函数的单调性可判断①；利用指数函数所过的定点代入即可判断②；利用奇偶性的定义即可判断③；判断函数的单调性即可判断④. 【详解】对于A，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在R上为增函数， 当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在R上为减函数， 错误； 对于②，当时，，即函数过定点，正确； 对于③，由函数可得：，解得：， 故函数的定义域是，关于原点对称， 因为， ， 所以 ，即原函数为偶函数，正确； 对于④，当时， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值0，正确. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在判断函数奇偶性的时候要注意先判断函数定义域是否关于原点对称. 【典例6】（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详细解析】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 【题后反思】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【举一反三】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习） 6．已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 【答案】10 【分析】作出函数的图象可得答案. 【详解】作出函数在区间上的图象， 如图，根据函数的单调性，此时． 又当时，，所以当时，， 部分函数图象如图，由图象可得，，，…，， ，，，…，，即，即， 解得，即2，3，4，…，10，11， 故集合中的元素个数为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象是解题的关键点. （24-25高一上·北京·期中） 7．函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B．(1－,1+) C．[1－,1+] D．[－2,4] 【答案】A 【分析】推出在一侧的不等式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解实数的取值范围． 【详解】解：，即， 等式两边同乘得：， ∵函数在上是增函数， ， 当时，恒成立等价于， 故选：A． 【点睛】本题考查函数恒成立条件的应用，函数的单调性求解函数的最值的方法，是中档题． 9．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D. 【详解】∵过原点，∴，∴①， 又∵时，， ∴时，，由题，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，故A正确； 所以，，，所以B错误； 由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误； ∵由题可得函数为偶函数，∴，又∵，∴，∴，∴，故D正确．    故选：AD 10．已知函数，下面说法正确的有（    ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且，恒成立 【答案】BC 【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】的定义域为关于原点对称, ，所以是奇函数，图象关于原点对称， 故选项A不正确，选项B正确； ，因为，所以，所以， ，所以，可得的值域为，故选项C正确； 设任意的， 则， 因为，，，所以， 即，所以，故选项D不正确； 故选：BC 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 11．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题. 【详解】由题设知， 当时，， 当时，，则， 因此，原不等式等价于，根据指数函数性质在，上均为是增函数，且，，，，所以在上是增函数， ∴对任意，不等式恒成立，则对任意恒成立，即， 即，可得： 故答案为： 12．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)． （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 【答案】（1）函数f(x)是偶函数（2）∈(1，＋∞) 【分析】（1）先求函数f(x)的定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等即可得到结果；（2）由f(x)是偶函数可知只需讨论x＞0时的情况，则有x3＞0，从而求得结果. 【详解】（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝(－x)3 ＝(－x)3 ＝(－x)3 ＝x3＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． （2）由（1）知f(x)为偶函数， ∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0， 则x3＞0， 即＋＞0， 即＞0，则ax＞1. 又∵x＞0，∴a＞1. ∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性的方法和恒成立问题，判断函数的奇偶性先求定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等或者互为相反数，相等即为偶函数，互为相反数则为奇函数，属中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点13   指数函数的图象与性质 由指数函数的解析式识别相应的函数图象，判定简单复合函数的奇偶性和单调性并应用，这体现着由一般到特殊、函数与方程、数形结合和分类讨论的思想．下面我们从以下三个方面进行研究： 1、指数函数的图象与应用 2、指数函数的性质与应用 3、指数函数的复合问题 对于指数函数的图象与应用，常结合函数性质，用特值法、排除法等选择图象，并注意分析底数与1的关系；对于指数函数的性质与应用，常见过定点问题，或单调性的应用；对于指数函数的有关复合问题，仍立足于指数函数的性质，结合复合函数的单调性，还需要多积累一些指数函数复合型函数的性质，要注重领悟数学思想与方法来解决问题. 在学习过程中，要提升数学抽象、直观想象、数学建模以及数学运算素养，方可很好的完成解题与学习． 探究一　指数函数的图象与应用 【典例1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详细解析】定义域为，且， 则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 【题后反思】关于复杂型函数图象的识别，一般从奇偶性入手排除部分选项，再结合特殊值或极限的思想，之后可探究单调性，三步走基本可确定结果. 【举一反三】 1．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【详细解析】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 【题后反思】根据指数函数在第一象限中底大图高作出图象，利用数形结合思想分类讨论选项即可. 【举一反三】 2．设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为0 探究二　指数函数的性质与应用 【典例3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】或命题为真则有一真即可，从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详细解析】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 【题后反思】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解； 【举一反三】 3．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【典例4】当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为______. 【思路引导】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解 【详细解析】由题意，得当时不等式恒成立，即， 令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当时，如图所示， 由图可知，，恒成立，故不满足题意； 当时，如图所示， 由图可知，要，恒成立， 需， 即，解得，故 综上可知： a的取值范围是. 【题后反思】本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【举一反三】 4．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 探究三　指数函数相关的复合函数问题 【典例5】已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ） A．8    B．10    C．13    D．18 【思路引导】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答. 【详细解析】函数定义域为R，且，即点在函数图象上， ，， 因此，函数的图象关于点对称， 依题意，不妨令，则点与关于点对称， 即且， 所以. 故选：D 【题后反思】函数的定义域为D，，存在常数a，b使得或者，则函数图象关于点对称，可适当积累一些形如函数的对称性. 【举一反三】（23-24高二下·天津滨海新·期末） 5．已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【典例6】（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详细解析】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 【题后反思】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【举一反三】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习） 6．已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． （24-25高一上·北京·期中） 7．函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B．(1－,1+) C．[1－,1+] D．[－2,4] 9．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 10．已知函数，下面说法正确的有（    ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且，恒成立 11．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 12．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)． （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$