同步微点进阶讲义12 指对运算-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点12   指对运算 从代数运算的角度来看，幂运算、指数运算和对数运算就是方程（，且，）中的三个量已知两个量，求第三个量的运算.指数运算性质的形成过程蕴含着逼近和极限思想.指数式与对数式的互相转化，利用换底公式将不同底的对数转化为同底对数（一般为自然对数或常用对数），皆体现着转化与化归的思想.下面我们从以下三个角度进行研究： 1.指数运算及应用； 2.对数运算及应用； 3.指数、对数综合运算及应用. 通过指数运算的性质、对数运算的性质及指数与对数的互化处理化简或求值问题.要在学习中培养数学抽象、数学建模以及数学运算素养. 探究一　指数运算及应用 【典例1】计算：（1）； （2）. 【思路引导】将根式转化为分数指数幂后用指数运算性质求解. 【详细解析】（1）原式 . （2）原式. 【题后反思】化简、求值时，一般是先将根式化成幂的形式，小数指数幂化成分数指数幂的形式，再将幂视为一个整体，同时注意指数间的倍数关系，运用指数运算性质进行化简.运算的原则是先化简、再求值，即观察分析题目所给代数式的结构，考虑能否对它进行适当的变形整理，以便使用指数运算性质，再计算求值. 【举一反三】 1．化简 2．化简：. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ） A.    B.    C.    D.4 【思路引导】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详细解析】因为， 所以. 因为，所以. 所以，即. 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【题后反思】通过构造，变形后由基本不等式计算最值即可. 【举一反三】 3．已知，，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 探究二　对数运算及应用 【典例3】（1）计算：log381－log98log23－2log23＋lg＋lg＝________. （2）计算：＝________. 【思路引导】用对数运算的性质、换底公式以及对数恒等式求解即可. 【详细解析】（1）原式＝log334－log32log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案：0 （2）原式＝ ＝＝ ＝＝＝＝1. 答案：1 【题后反思】对数式化简求值的常用方法有两种：一是将同底的两对数的和（或差）转化成积（或商）的对数；二是将积（或商）的对数转化成同底的两对数的和（或差）. 【举一反三】 4． . 5． 【典例4】设，，试用表示出. 【思路引导】用换底公式一次性将条件和目标换成同底对数. 【详细解析】方法1：由已知得.则 . 方法2：由已知得，.所以，. 所以， 即. 【题后反思】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【举一反三】 6．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝ ． 探究三　指数对数综合运算及应用 【典例5】设，求的值. 【思路引导】先把指数式转化为对数式，求出的值，再利用对数换底公式和运算性质求解 【详细解析】因为，所以，，， 所以. 【题后反思】多元变量的运算求解问题通常利用消元转化为一元变量的问题，这体现了转化与化归的数学思想.本题所用的指对转化，是消元常用的方法. 【举一反三】 7．已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例6】已知实数，，满足，则下列说法正确得有（ ） A.    B. C.    D. 【思路引导】根据指数与对数的互化公式，结合比较法和对数的运算性质逐一判断即可. 【详细解析】，则，，，且，，. 对于A:，所以A错误； 对于B:，因为，，所以，即，所以B正确； 对于C：，所以C正确； 对于D：，所以D正确. 故选：BCD. 【题后反思】利用换元法消元，再利用作差法及对数运算的性质计算即可. 【举一反三】 （23-24高一上·广东东莞·期中） 8．已知均为正数，且，则的大小关系为 . （24-25高三上·黑龙江·阶段练习） 9．已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·上海·期中） 10．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（    ） A． B． C．3 D． （23-24高二下·江西·阶段练习） 12．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 （24-25高一上·浙江·期中） 13．的值为 . 14．若实数满足，则的最大值是 . 15．（1）当，时，求的值； （2）若，求的值. （23-24高一上·江苏南京·期中） 16．（1）计算：； （2）已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点12   指对运算 从代数运算的角度来看，幂运算、指数运算和对数运算就是方程（，且，）中的三个量已知两个量，求第三个量的运算.指数运算性质的形成过程蕴含着逼近和极限思想.指数式与对数式的互相转化，利用换底公式将不同底的对数转化为同底对数（一般为自然对数或常用对数），皆体现着转化与化归的思想.下面我们从以下三个角度进行研究： 1.指数运算及应用； 2.对数运算及应用； 3.指数、对数综合运算及应用. 通过指数运算的性质、对数运算的性质及指数与对数的互化处理化简或求值问题.要在学习中培养数学抽象、数学建模以及数学运算素养. 探究一　指数运算及应用 【典例1】计算：（1）； （2）. 【思路引导】将根式转化为分数指数幂后用指数运算性质求解. 【详细解析】（1）原式 . （2）原式. 【题后反思】化简、求值时，一般是先将根式化成幂的形式，小数指数幂化成分数指数幂的形式，再将幂视为一个整体，同时注意指数间的倍数关系，运用指数运算性质进行化简.运算的原则是先化简、再求值，即观察分析题目所给代数式的结构，考虑能否对它进行适当的变形整理，以便使用指数运算性质，再计算求值. 【举一反三】 1．化简 【答案】 【解析】直接利用分数指数幂的运算法则求解即可 【详解】解： 【点睛】此题考查分数指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．化简：. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【详解】. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ） A.    B.    C.    D.4 【思路引导】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详细解析】因为， 所以. 因为，所以. 所以，即. 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【题后反思】通过构造，变形后由基本不等式计算最值即可. 【举一反三】 3．已知，，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断. 【详解】设，则， 所以， ， 而， 所以，即， 故选：B 探究二　对数运算及应用 【典例3】（1）计算：log381－log98log23－2log23＋lg＋lg＝________. （2）计算：＝________. 【思路引导】用对数运算的性质、换底公式以及对数恒等式求解即可. 【详细解析】（1）原式＝log334－log32log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案：0 （2）原式＝ ＝＝ ＝＝＝＝1. 答案：1 【题后反思】对数式化简求值的常用方法有两种：一是将同底的两对数的和（或差）转化成积（或商）的对数；二是将积（或商）的对数转化成同底的两对数的和（或差）. 【举一反三】 4． . 【答案】 【分析】结合对数的运算法则，化简整理即可求出结果. 【详解】 ， 故答案为：. 5． 【答案】 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】 【典例4】设，，试用表示出. 【思路引导】用换底公式一次性将条件和目标换成同底对数. 【详细解析】方法1：由已知得.则 . 方法2：由已知得，.所以，. 所以， 即. 【题后反思】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【举一反三】 6．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝ ． 【答案】． 【详解】利用换底公式以及对数的运算性质求解． 【解答】解： ， 故答案为：． 探究三　指数对数综合运算及应用 【典例5】设，求的值. 【思路引导】先把指数式转化为对数式，求出的值，再利用对数换底公式和运算性质求解 【详细解析】因为，所以，，， 所以. 【题后反思】多元变量的运算求解问题通常利用消元转化为一元变量的问题，这体现了转化与化归的数学思想.本题所用的指对转化，是消元常用的方法. 【举一反三】 7．已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较的大小，即可比较的大小，根据题中条件可得，再根据，可得，两边取对数即可比较的大小，进而得到答案. 【详解】由， 可得， 则， ， 故， 又， 所以，两边取以10为底的对数， ， 综上可知，， 故选:B. 【典例6】已知实数，，满足，则下列说法正确得有（ ） A.    B. C.    D. 【思路引导】根据指数与对数的互化公式，结合比较法和对数的运算性质逐一判断即可. 【详细解析】，则，，，且，，. 对于A:，所以A错误； 对于B:，因为，，所以，即，所以B正确； 对于C：，所以C正确； 对于D：，所以D正确. 故选：BCD. 【题后反思】利用换元法消元，再利用作差法及对数运算的性质计算即可. 【举一反三】 （23-24高一上·广东东莞·期中） 8．已知均为正数，且，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】设，然后分别求出，然后将对数式和指数式利用公式变形，判定大小关系. 【详解】设，因为均为正数，所以， 则，所以， 同理，， 所以只需要比较的大小即可. ,,因为，所以， ，，因为，所以， 又，所以， 故，所以， 故答案为：. （24-25高三上·黑龙江·阶段练习） 9．已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【详解】当时，，，， 故A,B,C都不成立， 因为，故D正确. 故选：D. （24-25高一上·上海·期中） 10．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 11．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】依题意，设，利用指对数互化可得，再将化简可得，即可求出的值. 【详解】因为是方程的解，所以， 令，则有， 所以，① 因为b是方程的解，所以，即，② 设，易知在R是单调递增， 由①②得，，所以， 代入得，， 故选：C （23-24高二下·江西·阶段练习） 12．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 【答案】AC 【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD. 【详解】对于AB,由， 个位数分别为以4为周期循环往复， 因为的余数为1， 故的个位数与的个位数相同， 即的个位数为3，故A正确，B错误； 对于CD，因为， 所以， 因为， 所以为173位数，故C正确，D错误. 故选：AC. （24-25高一上·浙江·期中） 13．的值为 . 【答案】3 【分析】利用对数、指数运算性质即可求解. 【详解】原式 故答案为：3 14．若实数满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得的范围，据此即可确定c的最大值. 【详解】由题意可得：， 由基本不等式可得：，即：， 据此可得：， 结合可得：， 则，由于，故， 即，据此可得的最大值为. 【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，换元法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．（1）当，时，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1＋；（2）. 【分析】（1）利用指数运算化简，再代入计算即得. （2）利用乘法公式化简，再代入计算即得. 【详解】（1）当，时， . （2）当时， 所以. （23-24高一上·江苏南京·期中） 16．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$