同步微点进阶讲义19 函数在生活中的应用.（二）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点19   生活中的函数应用（二） 函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽．函数模型的应用实质是揭示客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，研究函数模型在实践中的应用具有重要的现实意义．本专题在“生活中的函数应用（一）”研究的基础上，进一步探索函数的应用价值．具体来讲，一方面要会利用具体的函数模型分析实际问题；另一方面要会对具体问题进行分析，建立合适的函数模型，并对不同模型的拟合度进行比较，择优选择，培养数学建模核心素养．我们从以下四个方面进行研究： 1、指数函数模型 2、对数函数模型 3、几个函数的优选 4、函数拟合 现实世界有许多现象和问题隐含着一定的数学规律，需要我们从数学的角度去发现、去探索、去寻求解决策略．可以说，面对实际问题，能够主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，是数学应用意识的重要体现，也是将所学的知识和方法运用于实际的关键．数学建模是数学的基本思想和核心素养之一，本专题主要涉及数学建模的内容是函数模型的应用，数学建模应遵循以下主要步骤． （1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题． （2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量． （3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型．常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数等．要根据实际问题的相关数据，画出散点图，观察变化趋势，选择合适函数拟合． （4）求解模型：以所学的数学知识和方法为工具对建立的数学模型进行求解． （5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，将拟合的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性．如果不满意，要考虑重新建模． （6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其实际意义，最后给出所建立的模型的运用范围；如果模型与实际问题有较大出入，要改进模型并重复上述步骤． 探究一　指数函数模型 在实际问题中主要涉及两类问题：一类是给出指数函数模型（如，其中，，且），通过研究函数模型解决相关问题；另一类是有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，可以建立指数函数模型予以解决，其函数模型可表示为（其中为基础数，为增长率，为时间）的形式． 【典例1】纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A．0.82    B．1.15    C．3.87    D．5.5 【思路引导】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解. 【详细解析】根据题意可得，两式相除可得， 所以，可得. 故选：B. 【题后反思】在实际问题中，给出具体函数模型，可以依据题意待定系数计算参数即可. 【举一反三】 1．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（    ） A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天 【典例2】研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数． （1）若放射性元素在时的放射性水平是时的，求的值； （2）设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：） 【思路引导】解决本题的关键点，一是根据条件确定常数的值，二是在此基础上利用放射性元素的放射速率函数，通过解指对不等式，确定放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数的值． 【详细解析】（1）由题可知，，． 因为，所以，所以即． （2）由（1）可知，，由，得， 即． 因为，所以，所以所求的最小整数． 【题后反思】对于给定指数函数模型（，，且）的题目，需要通过阅读理解题意，结合所给数据求出待定常数，利用指数函数的单调性以及实际问题条件控制相关变量范围，解决实际问题． 【举一反三】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习） 2．我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰､碳中和，我国将继续坚持贯彻落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间（单位：）的关系为，其中，是常数.已知在前消除了的污染物.则下列结论正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．过滤后还剩余的污染物 C．污染物减少需要的时间为 D．污染物减少所需要的时间为 探究二　对数函数模型 对数函数在现实生活、科学研究中有着广泛的应用，主要涉及增长速度相对缓慢问题的研究，如火箭的装载与速度问题、噪音测量等，所研究的情境比较复杂，我们常常借助已有科学研究的成果，给出对数函数模型，根据实际问题的条件来确定相关研究对象的结果． 【典例3】在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ） A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到. B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002. D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍. 【思路引导】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断. 【详细解析】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误； 对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误； 对于C，240对应的听觉下限阈值为20，， 令，此时，故C错误； 对于D，1000的听觉下限阈值为0， 令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确. 故选：D. 【题后反思】1．有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． 2．求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据， 代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【举一反三】 （2024·河南郑州·一模） 3．溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 【典例4】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数的单位：鱼的耗氧量的单位数． （1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ （2）某条鲑鱼想把游速提高，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ （3）求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 【思路引导】本题属于典型的对数函数模型应用问题，题中已给出对数函数模型，因此只要正确运用函数，结合实际问题的条件，解相关对数方程即可解决问题． 【详细解析】（1）因为鲑鱼的游速，所以当时， ． 故当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是． （2）因为，即，得， 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． （3）令，得，即，则， 所以一条鲑鱼静止时的耗氧量的单位数为100． 【题后反思】有关对数函数的实际应用问题一般都会给出函数解析式［如，其中，，且］，通常可以利用函数的性质以及解方程、不等式的方法或根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值解释其实际意义． 【举一反三】 4．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 探究三　几个函数的优选 解决实际应用问题的时候，分析所给数据之间的关系，可能得到若干个变化趋势接近的函数模型（往往是预先提供的具体函数模型）．解决此类问题的关键是根据实际问题的具体要求，优选合适的函数模型． 【典例5】某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的，下列模型中能符合公司要求的是（   ） （参考数据：） A．        B．        C．        D． 【思路引导】根据题意确定所选模型需要满足的条件，根据指数函数、对数函数、幂函数的性质一一分析选项即可. 【详细解析】由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当时，（1）函数为增函数； （2）函数的最大值不超过5；（3）. 对于选项A，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求； 对于选项B，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求； 对于选项C，函数满足条件（1）， 且当时，取最大值，且恒成立，故满足公司要求； 对于选项D，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求． 故选C． 【题后反思】优选函数时，可以先依据条件确定函数模型具有的特征，再利用已学函数的性质分析即可. 【举一反三】 （23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中） 5．退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜的造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，年月底的生物量为，到了月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且）与． (1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得年月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适． 【典例6】2009年某市某地段商业用地价格为每亩（亩，地积单位，1市亩）48万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩96万元．现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，是2009年以来经过的年数，2009年对应的值为0． （1）求，的解析式； （2）2021年开始，有关部门出台稳定土地价格的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在以内，请分析以上两种增长方式，确定满足要求的一种模型．（参考数据：） 【思路引导】本题属于典型的模型优选问题，可以根据实际问题所给的数据，用待定系数法确定和两个函数模型的解析式，再利用模型分析增长方式，判断能否控制2025年地价对于2021年地价的涨幅在以内，以确定合适的函数模型． 【详细解析】（1）由题知，，，代入解析式， 得解得所以，； 又，， 代入解析式可得解得所以，． （2）若按照模型，到2025年时，，， 直线上升的增长率为，不符合要求； 若按照模型， 到2025年时，，， 对数增长的增长率为，符合要求．综上，应该选择模型． 【题后反思】根据数据分析，当所研究的实际应用问题可以用几种不同类型的函数模型进行研究时，我们常常根据实际数据，通过待定系数的方法确定函数模型的系数，求出这几种模型的函数解析式，并进行相关预测，对所得结果与实际进行比较，优选合适的函数模型解决问题． 【举一反三】 6．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为，，.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量与月序数之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数（，，均为待定系数，）或函数（，，均为待定系数，），现在已知该厂生产这种新产品在第四个月的月产量为，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 探究四　函数拟合 由散点图或表格给出的实际应用问题，需要根据散点图的变化规律，寻找合适的拟合函数，再利用拟合函数对所研究的实际问题进行预测，并说明可行性或可靠性． 【典例7】（22-23高三上·广东广州·开学考试）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm. 【思路引导】由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果． 【详细解析】由题意得：长方形纸片的面积为，又， ， 当折痕如下图MN所示时， 设，则，解得：， ，即，当且仅当时取等号； 令 ，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又 ，故 ，故 ； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， ， 当时，取得最小值64， 当或5时，取得最大值89，则； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故， ； 综上所述：折痕长的取值范围为， 故答案为： 【题后反思】本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以及对勾函数二次函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法. 【举一反三】 7．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 ． 【典例8】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表，单位：万元 投资A种商品金额 1 2 3 4 5 6 投资A种商品纯利润 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额 1 2 3 4 5 6 投资B种商品纯利润 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入2万元经营这两种产品，但不知投入两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）． 【思路引导】根据表格所提供的投资额与纯利润的关系画出散点图．观察散点图的变化规律，合理选择函数拟合，这里分别选择了二次函数和一次函数进行拟合．最后利用拟合函数的解析式，根据条件对所给实际问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 【详细解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图， 则投资A，B所获纯利润与投资额的关系分别如下图， 观察第一散点图可以看出，A种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合．取为最高点，则，再把点代入，得， 解得，所以． 观察第二个散点图可以看出，B种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是线性的， 可以用一次函数模型进行拟合．设，取点和代入，得 解得所以． 因此，前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式是； 前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式是． 设下月投入两种商品的资金分别为，总利润为， 则 即．当时，取最大值，约为4.1万元， 此时．故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品， 可获得最大利润，最大利润约为4.1万元． 【题后反思】涉及拟合函数模型的实际应用问题，通常要通过一些数据寻求事物规律，绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般解析式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，若基本符合实际，则可以认为这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．利用拟合函数的解析式对所给实际问题进行预测和控制，可以为决策和管理提供依据． 【举一反三】 8．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. （23-24高三上·湖北·期中） 9．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·湖南衡阳·期中） 10．衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 （24-25高一上·山东菏泽·阶段练习） 11．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． （24-25高三上·湖南衡阳·开学考试） 12．2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 13．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于 ．（保留三位有效数字，参考数据：取，取） 14．某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若且，则； ③若，则红方获得战斗演习胜利； ④若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．假设某地初始物价为1，每年以的增长率递增，经过年后的物价为. (1)该地的物价经过几年会翻一番？ (2)填写下表： 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 16．2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点19   生活中的函数应用（二） 函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽．函数模型的应用实质是揭示客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，研究函数模型在实践中的应用具有重要的现实意义．本专题在“生活中的函数应用（一）”研究的基础上，进一步探索函数的应用价值．具体来讲，一方面要会利用具体的函数模型分析实际问题；另一方面要会对具体问题进行分析，建立合适的函数模型，并对不同模型的拟合度进行比较，择优选择，培养数学建模核心素养．我们从以下四个方面进行研究： 1、指数函数模型 2、对数函数模型 3、几个函数的优选 4、函数拟合 现实世界有许多现象和问题隐含着一定的数学规律，需要我们从数学的角度去发现、去探索、去寻求解决策略．可以说，面对实际问题，能够主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，是数学应用意识的重要体现，也是将所学的知识和方法运用于实际的关键．数学建模是数学的基本思想和核心素养之一，本专题主要涉及数学建模的内容是函数模型的应用，数学建模应遵循以下主要步骤． （1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题． （2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量． （3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型．常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数等．要根据实际问题的相关数据，画出散点图，观察变化趋势，选择合适函数拟合． （4）求解模型：以所学的数学知识和方法为工具对建立的数学模型进行求解． （5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，将拟合的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性．如果不满意，要考虑重新建模． （6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其实际意义，最后给出所建立的模型的运用范围；如果模型与实际问题有较大出入，要改进模型并重复上述步骤． 探究一　指数函数模型 在实际问题中主要涉及两类问题：一类是给出指数函数模型（如，其中，，且），通过研究函数模型解决相关问题；另一类是有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，可以建立指数函数模型予以解决，其函数模型可表示为（其中为基础数，为增长率，为时间）的形式． 【典例1】纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A．0.82    B．1.15    C．3.87    D．5.5 【思路引导】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解. 【详细解析】根据题意可得，两式相除可得， 所以，可得. 故选：B. 【题后反思】在实际问题中，给出具体函数模型，可以依据题意待定系数计算参数即可. 【举一反三】 1．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（    ） A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天 【答案】A 【分析】由已知先确定系数,即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增加3倍需要的时间 【详解】因为，，且，则，于是得 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有 即，所以， 而，解得 所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天 故选：A． 【典例2】研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数． （1）若放射性元素在时的放射性水平是时的，求的值； （2）设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：） 【思路引导】解决本题的关键点，一是根据条件确定常数的值，二是在此基础上利用放射性元素的放射速率函数，通过解指对不等式，确定放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数的值． 【详细解析】（1）由题可知，，． 因为，所以，所以即． （2）由（1）可知，，由，得， 即． 因为，所以，所以所求的最小整数． 【题后反思】对于给定指数函数模型（，，且）的题目，需要通过阅读理解题意，结合所给数据求出待定常数，利用指数函数的单调性以及实际问题条件控制相关变量范围，解决实际问题． 【举一反三】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习） 2．我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰､碳中和，我国将继续坚持贯彻落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间（单位：）的关系为，其中，是常数.已知在前消除了的污染物.则下列结论正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．过滤后还剩余的污染物 C．污染物减少需要的时间为 D．污染物减少所需要的时间为 【答案】BD 【分析】利用题中条件可得，即可判断；当时，代入关系式时即可判断；当时，代入关系式即可判断，. 【详解】由题意，当时，， 当时，， 于是有，解得，故错误； 当时，，故正确； 当时，有， 解得，故错误，正确. 故选：. 探究二　对数函数模型 对数函数在现实生活、科学研究中有着广泛的应用，主要涉及增长速度相对缓慢问题的研究，如火箭的装载与速度问题、噪音测量等，所研究的情境比较复杂，我们常常借助已有科学研究的成果，给出对数函数模型，根据实际问题的条件来确定相关研究对象的结果． 【典例3】在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ） A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到. B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002. D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍. 【思路引导】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断. 【详细解析】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误； 对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误； 对于C，240对应的听觉下限阈值为20，， 令，此时，故C错误； 对于D，1000的听觉下限阈值为0， 令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确. 故选：D. 【题后反思】1．有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． 2．求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据， 代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【举一反三】 （2024·河南郑州·一模） 3．溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 【答案】ABC 【分析】利用的计算公式可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算式利用参考数据可分别求得选项BCD的值，可得结论. 【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以， 即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确； 对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确； 对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是， 因此，即海水的是，所以C正确； 对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则； 而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误； 故选：ABC 【典例4】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数的单位：鱼的耗氧量的单位数． （1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ （2）某条鲑鱼想把游速提高，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ （3）求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 【思路引导】本题属于典型的对数函数模型应用问题，题中已给出对数函数模型，因此只要正确运用函数，结合实际问题的条件，解相关对数方程即可解决问题． 【详细解析】（1）因为鲑鱼的游速，所以当时， ． 故当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是． （2）因为，即，得， 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． （3）令，得，即，则， 所以一条鲑鱼静止时的耗氧量的单位数为100． 【题后反思】有关对数函数的实际应用问题一般都会给出函数解析式［如，其中，，且］，通常可以利用函数的性质以及解方程、不等式的方法或根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值解释其实际意义． 【举一反三】 4．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 探究三　几个函数的优选 解决实际应用问题的时候，分析所给数据之间的关系，可能得到若干个变化趋势接近的函数模型（往往是预先提供的具体函数模型）．解决此类问题的关键是根据实际问题的具体要求，优选合适的函数模型． 【典例5】某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的，下列模型中能符合公司要求的是（   ） （参考数据：） A．        B．        C．        D． 【思路引导】根据题意确定所选模型需要满足的条件，根据指数函数、对数函数、幂函数的性质一一分析选项即可. 【详细解析】由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当时，（1）函数为增函数； （2）函数的最大值不超过5；（3）. 对于选项A，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求； 对于选项B，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求； 对于选项C，函数满足条件（1）， 且当时，取最大值，且恒成立，故满足公司要求； 对于选项D，函数满足条件（1），但当时，，不满足公司要求． 故选C． 【题后反思】优选函数时，可以先依据条件确定函数模型具有的特征，再利用已学函数的性质分析即可. 【举一反三】 （23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中） 5．退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜的造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，年月底的生物量为，到了月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量（单位：）与月份（单位：月）的内在关系，即且）与． (1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得年月底生物量约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适． 【答案】(1)答案见解析 (2)更合适 【分析】（1）根据题意，列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结果，分别计算月份，生物量的值，结合题意即可判断. 【详解】（1）若选，由题意有，解得，所以 若选，由所以， （2）若用，当时，, 若用，当时，, 所以用模型更合适. 【典例6】2009年某市某地段商业用地价格为每亩（亩，地积单位，1市亩）48万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩96万元．现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，是2009年以来经过的年数，2009年对应的值为0． （1）求，的解析式； （2）2021年开始，有关部门出台稳定土地价格的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在以内，请分析以上两种增长方式，确定满足要求的一种模型．（参考数据：） 【思路引导】本题属于典型的模型优选问题，可以根据实际问题所给的数据，用待定系数法确定和两个函数模型的解析式，再利用模型分析增长方式，判断能否控制2025年地价对于2021年地价的涨幅在以内，以确定合适的函数模型． 【详细解析】（1）由题知，，，代入解析式， 得解得所以，； 又，， 代入解析式可得解得所以，． （2）若按照模型，到2025年时，，， 直线上升的增长率为，不符合要求； 若按照模型， 到2025年时，，， 对数增长的增长率为，符合要求．综上，应该选择模型． 【题后反思】根据数据分析，当所研究的实际应用问题可以用几种不同类型的函数模型进行研究时，我们常常根据实际数据，通过待定系数的方法确定函数模型的系数，求出这几种模型的函数解析式，并进行相关预测，对所得结果与实际进行比较，优选合适的函数模型解决问题． 【举一反三】 6．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为，，.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量与月序数之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数（，，均为待定系数，）或函数（，，均为待定系数，），现在已知该厂生产这种新产品在第四个月的月产量为，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 【答案】选用函数作为模拟函数较好 【分析】根据题意，结合待定系数法分别求出两个函数解析式，再把代入计算对比，即可求解. 【详解】根据题意可列方程组，，解得， 所以.① 同理.② 因此（t），（t）. 与相比，在数值上更接近第四个月的实际月产量， 所以②式作为模拟函数比①式好，故选用函数作为模拟函数较好. 探究四　函数拟合 由散点图或表格给出的实际应用问题，需要根据散点图的变化规律，寻找合适的拟合函数，再利用拟合函数对所研究的实际问题进行预测，并说明可行性或可靠性． 【典例7】（22-23高三上·广东广州·开学考试）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm. 【思路引导】由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果． 【详细解析】由题意得：长方形纸片的面积为，又， ， 当折痕如下图MN所示时， 设，则，解得：， ，即，当且仅当时取等号； 令 ，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又 ，故 ，故 ； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， ， 当时，取得最小值64， 当或5时，取得最大值89，则； 当折痕如下图所示时， 设，则，解得：， 则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故， ； 综上所述：折痕长的取值范围为， 故答案为： 【题后反思】本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以及对勾函数二次函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法. 【举一反三】 7．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 ． 【答案】 2 【分析】从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数的零点的个数就是的解的个数． 【详解】解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， ∵当点P在BC的中点上时，即三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，取得最小值；当P在点B或点C时，取得最大值 ∴函数的图象的对称轴是； ，即．故函数的零点的个数就是的解的个数．而由题意可得的解有2个， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题． 【典例8】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表，单位：万元 投资A种商品金额 1 2 3 4 5 6 投资A种商品纯利润 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额 1 2 3 4 5 6 投资B种商品纯利润 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入2万元经营这两种产品，但不知投入两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）． 【思路引导】根据表格所提供的投资额与纯利润的关系画出散点图．观察散点图的变化规律，合理选择函数拟合，这里分别选择了二次函数和一次函数进行拟合．最后利用拟合函数的解析式，根据条件对所给实际问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 【详细解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图， 则投资A，B所获纯利润与投资额的关系分别如下图， 观察第一散点图可以看出，A种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合．取为最高点，则，再把点代入，得， 解得，所以． 观察第二个散点图可以看出，B种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是线性的， 可以用一次函数模型进行拟合．设，取点和代入，得 解得所以． 因此，前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式是； 前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式是． 设下月投入两种商品的资金分别为，总利润为， 则 即．当时，取最大值，约为4.1万元， 此时．故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品， 可获得最大利润，最大利润约为4.1万元． 【题后反思】涉及拟合函数模型的实际应用问题，通常要通过一些数据寻求事物规律，绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般解析式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，若基本符合实际，则可以认为这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．利用拟合函数的解析式对所给实际问题进行预测和控制，可以为决策和管理提供依据． 【举一反三】 8．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】(1) (2)选择函数模型②， (3)961 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值. （2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式. （3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案. 【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元， 所以，解得. （2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①；③；④都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，解得，，. 所以日销售量与时间的变化关系为. （3）由（2）知 所以 即. 当，时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 当，时，单调递减， 所以. 综上所述：当时，取得最小值，最小值为961. （23-24高三上·湖北·期中） 9．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得. 【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为， 由题意知， 所以， 即， 所以， 故选：B. （23-24高二下·湖南衡阳·期中） 10．衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出． 【详解】由题意可设比例系数为，所以， ，， 当时，， 故选：D． （24-25高一上·山东菏泽·阶段练习） 11．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 故选：ACD. （24-25高三上·湖南衡阳·开学考试） 12．2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 【答案】ACD 【分析】由题意，D选项正确；A选项，当时求的值；BC选项，时求的取值. 【详解】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确； 当时，由，解得，A选项正确； 当时，当时， 所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确. 故选：ACD. 13．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于 ．（保留三位有效数字，参考数据：取，取） 【答案】 【详解】试题分析：依题意将代入公式可得，解得，． 考点：解指数方程． 【方法点睛】本题是一个物理背景下的函数问题．解该类题型时，不应把精力集中在物理背景上，应从物理背景中脱离出来，看到问题的数学本质，本题经分析其实就是一个关于的一个函数，只需将相应的量代入解析式即可求解． 14．某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若且，则； ③若，则红方获得战斗演习胜利； ④若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确. 【详解】对于①，若且，则， 即，所以， 由可得，即①正确； 对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0， 即，化简可得， 即，两边同时取对数可得， 即，所以战斗持续时长为， 所以②正确； 对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可， 设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为， 即，可得 同理可得 即，解得 又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利； 所以可得③错误，④正确. 故答案为：①②④. 15．假设某地初始物价为1，每年以的增长率递增，经过年后的物价为. (1)该地的物价经过几年会翻一番？ (2)填写下表： 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 【答案】(1)该地区的物价大约经过14年会翻一番 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意列出，即，求出时的值即可； （2）由，，利用计算工具求出表格中的数据，由此分析物价随年数的增长规律即可. 【详解】（1）由题意可知，经过年物价为，即． 由对数与指数的关系，可得，． 当时，． 所以，该地区的物价大约经过14年会翻一番． （2）根据函数，，可得下表. 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增加而增长，但每增加1倍所需要的时间在逐渐缩短． 16．2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 【答案】(1)， (2)11个 【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得 得，代入有，不合题意． 若选，将，和，代入得， 解得，得．代入有，符合题意． （2）设至少需要x个单位时间，则，即， 则，又，， ，∵， ∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$