同步微点进阶讲义14 对数函数的图像与性质-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题四 指数函数与对数函数 微点14    对数函数的图象与性质 由对数函数的解析式识别相应的函数图象，判定简单复合函数的奇偶性和单调性并应用，这体现着由一般到特殊、函数与方程、数形结合和分类讨论的思想．下面我们从以下三个方面进行研究： 1、对数函数的图象与应用 2、对数函数的性质与应用 3对数函数的复合问题对于对数函数的图象与应用，常结合函数性质，用特值法、排除法等选择图象，并注意分析底数与1的关系；对于对数函数的性质与应用，常见过定点问题，或单调性的应用；对于对数函数的有关复合问题，仍立足于对数函数的性质，结合复合函数的单调性，还需要多积累一些对数函数复合型函数的性质，要注重领悟数学思想与方法来解决问题. 在学习过程中，要提升数学抽象、直观想象、数学建模以及数学运算素养，方可很好的完成解题与学习． 探究一　对数函数的图象与应用 【典例1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（ ） A．    B．     C．    D． 【思路引导】根据给定条件，推导得，再按分类，结合函数单调性判断即得. 【详细解析】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 【题后反思】先根据对称性得出，利用指数、对数函数的单调性分类讨论底数的范围确定选项. 【举一反三】 1．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可. 【详解】由已知得函数的定义域为， ∵    ， ∴为奇函数， 令，则， 其中   ， 故，排除, 令，， 其中，故，排除, 故选：. 【典例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断. 【详细解析】因为，可得， ，可得， ，可得， 且考虑和的图象相交， 在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下： 根据图象可知. 故选：B. 【题后反思】对题意关系式整理，转化为和的图象的交点分析求解. 【举一反三】 2．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出函数的图象，根据题意分类讨论，可确定的范围，可判断 ,由，利用对数的运算可得 ，可判断D. 【详解】由题意得 ，作出其图象如图： ∴在上，函数是减函数；在上，函数是增函数； ∵，∴若，则，不合题意，∴，C正确； 若，则，也不合题意，∴ ，A正确； 结合图象可知b可大于1，可小于1或等于1，B错误； 由，可得 ， 故，D错误， 故选： 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式特征，脱去绝对值符号，结合对数函数图象，即可作出的图象，然后要分类讨论数形结合，确定的范围，即可确定答案. 类型二　对数函数性质与应用问题 【典例3】（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详细解析】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【题后反思】形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 【举一反三】 （23-24高一上·福建泉州·阶段练习） 3．是函数且在是减函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】令， ，图象的对称轴为直线，判断在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，进而得到不等式组，求出的范围，利用逻辑推理判断选项. 【详解】令，， 则图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减， 若要满足且在单调递减， 则单调递增， 则，解得, 故， 则是函数且在单调递减的必要不充分条件. 故选：B 【典例4】（23-24高二下·山东临沂·期末）已知，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可. 【详细解析】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 【题后反思】本题的关键是比较的大小关系，利用作差法结合对数运算性质和换底公式得，最后根据对数函数单调性即可比较两者大小关系. 【举一反三】 （23-24高一上·浙江宁波·期末） 4．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据换底公式结合对数函数单调性分析判断；对于B：根据换底公式结合基本不等式以及对数函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数单调性以及中间值分析判断；对于D：结合图象可知当时，则，进而可得结果. 【详解】对于选项A：因为均不为0，且， 又因为在定义域内单调递减，可得， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为 且， ， 可得，即，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 且，所以，故C错误； 对于选项D：对于与，如图所示， 可知当时，则， 令，可得，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于选项D：构建函数，结合图象可得当时，则，令即可得结果. 类型三　与对数函数有关的复合函数问题 【典例5】已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）由的定义域为，可知恒成立；（2）由的值域为，可知真数可取遍一切正数. 【详细解析】（1）由题意得，恒成立， 当时，，定义域为，不符合题意． 当时，由题意得解得． 综上得，的取值范围是． （2）当时，，值域为，符合题意． 当时，由题意得 解得． 综上得，的取值范围是． 【题后反思】第一问：利用对数函数的性质确定含参代数式非负，需要注意分类讨论；第二问：由于值域能取尽所有实数，则真数可取尽所有正数，亦即其有小于等于零的情况，由此计算即可. 【举一反三】 （23-24高一上·河北石家庄·期末） 5．已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小. 【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数， 而在区间上递增，在区间上递减， 根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确； 对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确； 对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数. ① 当时，可以取遍一切正数，符合题意； ②当时，依题意，须使，解得：. 综上可知，故C项正确； 对于D项，当时，，，则，， 故，， 由可得：，则，即得：，故D项正确. 故选：ABD. 【典例6】已知函数，． （1）当时，求函数的值域； （2），恒成立，求实数的取值范围． 【思路引导】对数函数与二次函数的简单复合函数求值域问题，将对数函数视作整体，换元，转化为二次函数求值域问题．恒成立问题可以构造函数，也可以分离变量，将问题转化为求函数最值问题． 【详细解析】（1）， 因为，所以，当时，取最大值2， 当时，取最小值，故函数的值域为． （2），即， 因为，所以，所以对任意恒成立． 令，则． 设，， 故．实数的取值范围为． 【题后反思】整体换元，可以使问题回归本源，化繁为简．在不增加运算量的前提下，处理不等式恒成立问题优先选择分离变量法；在双变量恒成立或能成立问题中，先易后难是原则． 【举一反三】 （23-24高一下·贵州贵阳·期中） 6．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 7．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)． A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 【答案】D 【详解】试题分析：，，；且；. 考点：对数函数的单调性. 8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设“出入相补原理”，结合函数在的图象与直线围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积. 【详解】由题意知：关于对称，而，且，， ∴在，、及的图象如下，    ∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积， ∴函数在的图象与直线围成封闭图形的面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理”，可将所围成的图形转化为由x轴、y轴、、所围成的矩形. 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与轴有两个交点 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为4 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AB 【分析】解对数方程判断A,由二次函数的最值判断BC,利用特殊值判断D． 【详解】令，即，解得或，即或，即选项正确； 由，即函数的最小值为，无最大值，即选项正确，选项错误； ,函数的图象不关于直线对称，选项D错误， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值的求法，考查了函数的对称性以及简单的对数方程，属中档题． （23-24高一上·重庆·期末） 10．定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由题意可知，即为满足的整数的个数，数形结合可判断A选项；当时，解不等式，可判断BC选项；数形结合可得出满足不等式的等价条件，求出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】根据题意，即为满足的整数的个数． 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误； 当时，，数形结合（如图）， 由，可得，解得， 所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错； 当时，作出函数和的图象，如图所示， 若，即的整数解只有一个， 只需满足，即，解得， 所以时，实数的取值范围是，故D正确； 故选：BD． 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数不等式解集中整数解的个数求参数，对于这类问题，一般考虑作出函数的图象，数形结合得出关于参数的不等式组求解. 11．已知函数，，则 . 【答案】 【分析】先构造奇函数，再根据奇函数的性质以及，即可求出. 【详解】解：令， 则易知的定义域为关于原点对称， 又 ， 即为上的奇函数， ， 即， . 故答案为：. （24-25高一上·北京·期中） 12．己知函数（且）． (1)求； (2)判断的奇偶性，并用定义证明； (3)时，求使成立的x的取值范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式即可得解； （2）先求出函数的定义域，再判断与的关系即可得出结论； （3）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）； （2）奇函数，证明如下： 由题意，解得， 所以函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； （3）当时，函数在上是减函数， 由，得， 所以，解得， 所以使成立的x的取值范围为. 13．已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，. 【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得； （2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）因为，， 令， ∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2）由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 指数函数与对数函数 微点14    对数函数的图象与性质 由对数函数的解析式识别相应的函数图象，判定简单复合函数的奇偶性和单调性并应用，这体现着由一般到特殊、函数与方程、数形结合和分类讨论的思想．下面我们从以下三个方面进行研究： 1、对数函数的图象与应用 2、对数函数的性质与应用 3对数函数的复合问题对于对数函数的图象与应用，常结合函数性质，用特值法、排除法等选择图象，并注意分析底数与1的关系；对于对数函数的性质与应用，常见过定点问题，或单调性的应用；对于对数函数的有关复合问题，仍立足于对数函数的性质，结合复合函数的单调性，还需要多积累一些对数函数复合型函数的性质，要注重领悟数学思想与方法来解决问题. 在学习过程中，要提升数学抽象、直观想象、数学建模以及数学运算素养，方可很好的完成解题与学习． 探究一　对数函数的图象与应用 【典例1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（ ） A．    B．     C．    D． 【思路引导】根据给定条件，推导得，再按分类，结合函数单调性判断即得. 【详细解析】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 【题后反思】先根据对称性得出，利用指数、对数函数的单调性分类讨论底数的范围确定选项. 【举一反三】 1．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【典例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路引导】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断. 【详细解析】因为，可得， ，可得， ，可得， 且考虑和的图象相交， 在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下： 根据图象可知. 故选：B. 【题后反思】对题意关系式整理，转化为和的图象的交点分析求解. 【举一反三】 2．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 类型二　对数函数性质与应用问题 【典例3】（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围. 【详细解析】设，由， 得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的， ， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，解得， 故选：D 【题后反思】形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 【举一反三】 （23-24高一上·福建泉州·阶段练习） 3．是函数且在是减函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（23-24高二下·山东临沂·期末）已知，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可. 【详细解析】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 【题后反思】本题的关键是比较的大小关系，利用作差法结合对数运算性质和换底公式得，最后根据对数函数单调性即可比较两者大小关系. 【举一反三】 （23-24高一上·浙江宁波·期末） 4．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 类型三　与对数函数有关的复合函数问题 【典例5】已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【思路引导】（1）由的定义域为，可知恒成立；（2）由的值域为，可知真数可取遍一切正数. 【详细解析】（1）由题意得，恒成立， 当时，，定义域为，不符合题意． 当时，由题意得解得． 综上得，的取值范围是． （2）当时，，值域为，符合题意． 当时，由题意得 解得． 综上得，的取值范围是． 【题后反思】第一问：利用对数函数的性质确定含参代数式非负，需要注意分类讨论；第二问：由于值域能取尽所有实数，则真数可取尽所有正数，亦即其有小于等于零的情况，由此计算即可. 【举一反三】 （23-24高一上·河北石家庄·期末） 5．已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 【典例6】已知函数，． （1）当时，求函数的值域； （2），恒成立，求实数的取值范围． 【思路引导】对数函数与二次函数的简单复合函数求值域问题，将对数函数视作整体，换元，转化为二次函数求值域问题．恒成立问题可以构造函数，也可以分离变量，将问题转化为求函数最值问题． 【详细解析】（1）， 因为，所以，当时，取最大值2， 当时，取最小值，故函数的值域为． （2），即， 因为，所以，所以对任意恒成立． 令，则． 设，， 故．实数的取值范围为． 【题后反思】整体换元，可以使问题回归本源，化繁为简．在不增加运算量的前提下，处理不等式恒成立问题优先选择分离变量法；在双变量恒成立或能成立问题中，先易后难是原则． 【举一反三】 （23-24高一下·贵州贵阳·期中） 6．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 7．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)． A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与轴有两个交点 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为4 D．函数的图象关于直线对称 （23-24高一上·重庆·期末） 10．定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 11．已知函数，，则 . （24-25高一上·北京·期中） 12．己知函数（且）． (1)求； (2)判断的奇偶性，并用定义证明； (3)时，求使成立的x的取值范围． 13．已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$