精品解析：山西省吕梁市中阳县2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性练习（三） 七年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 垂线段最短 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为 ，则牡丹园的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 若二元一次方程组的解为，则的值等于（ ） A. B. 18 C. 42 D. 7 9. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是_________． 13. 在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 14. 已知关于x的方程的解是不等式的一个解，则a的取值范围是_____． 15. 甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程组：； （2）解不等式组： 17. 已知：如图，，于点． （1）请说明； （2）若，试说明； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为． （1）写出点，的坐标； （2）将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标； （3）求三角形的面积． 19. 阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 20. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得． 第一步 把③代入②，得． 第二步 整理得． 第三步 解得，即． 第四步 把代入③，得． 则方程组的解为 第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 21. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 22. 【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性练习（三） 七年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，是有理数，该选项不合题意； 、，是整数，是有理数，该选项不合题意； 、无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，是有理数，该选项不合题意； 故选：． 2. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 先根据两直线平行的性质，得到，再根据平角的定义，即可得出的度数． 【详解】解：∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂线段的性质、对顶角及平行线的性质、平行公理，掌握对顶角和平行线性质是解决本题的关键．由对顶角的性质判断C，由平行线的性质和平行公理、垂线段最短判断B、A、D． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故选项A错误； 过直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行，原命题是假命题，故选项B错误； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故选项C错误； 垂线段最短，是真命题，故选项D正确． 故选：D． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得出，据此逐个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：由数轴得出， ∴A选项不符合题意； 则， ∴B选项不符合题意； ∵， 则， ∴， ∴C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项符合题意， 故选：D 5. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组的加减消元法．观察方程组中未知数系数，发现的系数互为相反数，直接相加即可消去． 【详解】方程组为： 方程①中的系数为，方程②中的系数为，两者互为相反数． 将①和②相加： 化简得： 所以通过可直接消去，得到关于的一元一次方程． 故选A． 6. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为 ，则牡丹园的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据芍药园的坐标为，月季园的坐标为 ，确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴牡丹园的坐标为， 故选：D ． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴ 如图， 故选B． 8. 若二元一次方程组的解为，则的值等于（ ） A. B. 18 C. 42 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及代数式求值．通过消元法解方程组，求出x和y的值，得到，相加即可． 【详解】将方程组整理为： 用方程①减去方程②，得： 化简得： 将代入方程②，得： 解得： 因此，，， 则． 故选D． 9. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 10. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方，再算减法即可． 【详解】解；． 故答案为：0． 12. 如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线判定的应用，解题的关键是掌握平行线判定的方法．根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 即木条a旋转的度数至少是时，， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】 解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 14. 已知关于x的方程的解是不等式的一个解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解与不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键． 首先解方程求得a的值，然后代入不等式即可求得a的范围． 【详解】解：解方程， 方程两边同时乘以3得， 解得：， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 15. 甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程组：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组． （1）根据加减消元法计算即可； （2）分别求出两不等式的解集，即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴； （2）解： 解不等式得：； 解不等式得：； ∴． 17. 已知：如图，，于点． （1）请说明； （2）若，试说明； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 证明：，， ， ； （3） ，理由如下： ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （2）由等量代换得，由内错角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （3）由两直线平行，同位角相等得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为． （1）写出点，的坐标； （2）将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）根据平移的性质可直接得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据图形可得、； 【小问2详解】 解：、、三点经过平移后， 坐标变为，，， 平移后的三角形在图中表示如下： 【小问3详解】 解：三角形的面积为：． 19. 阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键． （1）根据，即，可得； （2）根据，再求出，由此即可得，的值． 【小问1详解】 解：，即， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，即， ， 是的小数部分，是的整数部分， ． 20. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得． 第一步 把③代入②，得． 第二步 整理得． 第三步 解得，即． 第四步 把代入③，得． 则方程组的解为 第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号 （2） （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得． 把③代入②，得． 整理得． 解得，即． 把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 21. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1）， （2） 证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 【小问1详解】 证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； 【小问2详解】 略 22. 【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由，得③，再直接运用加减消元法求解即可； （2）由，得，再由，得，求出x，再代入求y即可． 【小问1详解】 ，得③ ，得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 由，得， ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式； （1）设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； （2）设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； （3）先购买的书签比冰箱贴多，得，解不等式，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多， ， 解得， 为整数， 最小值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $